离散群

✍ dations ◷ 2025-04-03 12:53:59 #拓扑群

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

在数学中，离散群是配备了离散拓扑的群。带有这种拓扑成为了拓扑群。拓扑群的离散子群是其相对拓扑为离散拓扑的子群。例如，整数集 Z 形成了实数集 R 的离散子群，但是有理数集 Q 不行。

任何群都可以给予离散拓扑。因为出自离散空间的所有映射都是连续的，离散群的拓扑同态完全就是底层群的群同态。因此，在群范畴和离散群范畴之间有一个同构，离散群因此同一于它们的底层(非拓扑)群。由于这个想法，术语离散群论被用来称呼对没有拓扑结构的群的研究，用来对比于拓扑群论或李群论。它在逻辑上和技术上被分为有限群论和无限群论。

在有些场合拓扑群或李群反自然的配备上离散拓扑是有用的。这可以在玻尔紧致化理论和在李群的群上同调理论中找到实例。

因为拓扑群是齐次的，你只需要查看一个单一的点就能确定这个群是否为离散的。特别是，拓扑群是离散的，当且仅当包含单位元的单元素集合是开集。

离散群是和零维李群同样的东西(不可数离散群不是第二可数的，所以要求李群满足这个公理的作者不把这些群认做李群)。离散群的单位元单元就是平凡子群而单元的群同构于这个群自身。

因为只有在有限集合上的豪斯多夫拓扑是离散拓扑，有限豪斯多夫拓扑群必然是离散群。可得出所有的豪斯多夫群的有限子群是离散群。

的离散子群是馀紧致(cocompact)的，如果有的紧子集使得 = 。

离散正规子群在覆盖群和局部同构群的理论中扮演重要角色。连通群的离散正规子群必然位于的中心并因此是阿贝尔群。

其他性质:

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