乒乓引理

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:45:41 #群论,离散群

群论中,乒乓引理给出了一个充分条件,保证一个群中数个子群所生成的群是这些子群的自由积。

使用乒乓引理的论证法可以追溯至19世纪后期,通常认为是菲利克斯·克莱因最先使用,他研究克莱因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中,证明著名的蒂茨两择性(Tits alternative)结果,一个主要工具就是乒乓引理。这结果指出任何有限生成的线性群,或是一个逼肖可解群(virtually solvable group),或是包含一个秩2的自由子群。乒乓引理及其引申结果广泛应用于几何拓扑学及几何群论。

设为群,作用在集合上,12是的非平凡子群,是12生成的群。若有两个不交非空子集12,使得

则是12的自由积,即 H = H 1 H 2 {\displaystyle H=H_{1}*H_{2}} 是二面体群。

设是用12的元素写出的非空简约字。若 w = a 1 b 1 a 2 b 2 a k {\displaystyle w=a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots a_{k}} 12的阶不都等于2,不失一般性,假设 | H 1 | > 2 {\displaystyle \left|H_{1}\right|>2} , 写出的非空简约字等于1,则只可能是 a b a b {\displaystyle ab\cdots ab} > 0有 ( a b ) n = 1 {\displaystyle (ab)^{n}=1} ,则为二面体群 D 2 n {\displaystyle D_{2n}} ,则 H = H 1 H 2 {\displaystyle H=H_{1}*H_{2}} 为群,作用在集合上。又设1, 2, ... , 是的非平凡子群,且当中至少一个的阶不小于3。若有两两不交的非空子集1, 2, ... , ,使得当 i j {\displaystyle i\neq j} 1, 2, ... , k所生成的群是其自由积,即

这条定理的证明与两个子群时的证明类似。

矩阵 ( 1 2 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}} 1, 2都同构于无限循环群。因为1, 2, 1, 2适合乒乓引理的条件,由乒乓引理得出1, 2生成的群为其自由积,而两个无限循环群的自由积为秩2的自由群。

相关

  • 纤维细胞纤维细胞(fibrocyte)是一种没有活性的间充质细胞,细胞显示出体积小的细胞质、数量有限的粗糙内质网,并且缺乏蛋白质合成的生化证据。此外,具有巨噬细胞的炎症特征和成纤维细胞的
  • Corey–Fuchs反应Corey–Fuchs反应,又称Ramirez–Corey–Fuchs反应醛与四溴化碳和三苯基膦反应,发生一碳同系化生成二溴烯烃,然后再用正丁基锂处理而得到末端炔烃。 反应由美国化学家 E. J. Co
  • 玛丽亚·利奥波丁娜 (奥地利)奥地利的玛丽亚·利奥波丁娜(英语:Dona Maria Leopoldina of Austria,1797年1月22日-1826年12月11日)是神圣罗马帝国女大公和巴西帝国末代皇帝佩德罗二世的母亲。她是神圣罗马帝
  • 排球 (消歧义)排球可以指:
  • 荣嫔 (嘉庆帝)荣嫔(18世纪-1826年),梁佳氏,内务府上三旗包衣出身。员外郎光保之女,清朝嘉庆帝之嫔。梁氏于藩邸侍嘉亲王永琰,未知具体日期,仅知乾隆六十年,皇太子位下有皇太子妃喜塔腊氏、皇太子侧
  • 2011年美国债务上限危机2011年美国债务上限危机涵指美国国会就美国债务上限(debt ceiling)提升的一场激烈争辩。这场争议由民主和共和两党把持,两党在应否加税、削减开支、提高债务上限问题上存在尖锐
  • 国民议会 (尼泊尔)执政党(50)反对派(9)国民议会(尼泊尔语:राष्ट्रिय सभा)是两院制的尼泊尔联邦议会的上议院。依据尼泊尔宪法第8、9部分设立,旨在向尼泊尔政府提出意见。每届6年,但期间每2
  • 泰伦斯·琼斯泰伦斯·亚历山大·琼斯(英语:Terrence Alexander Jones,1992年1月9日-),生于美国俄勒冈州波特兰,职业篮球运动员,现时效力于中国男子篮球职业联赛青岛双星,司职前锋。泰伦斯·琼斯生
  • 大野奖太大野奖太(Ohno Shota,1987年1月13日-)是一名出身于日本岐阜县的棒球选手,司职捕手,目前效力于日本职棒中日龙。
  • D.o.b《d.o.b》(韩语:)是韩国MNET电视台的综艺节目,为dance or band的缩写。由FNC娱乐的新人训练学院(NEOZ SCHOOL)第一期学员分为舞蹈和乐团两支队伍进行竞争,为真人选秀综艺节目。