乒乓引理

群论中，乒乓引理给出了一个充分条件，保证一个群中数个子群所生成的群是这些子群的自由积。

使用乒乓引理的论证法可以追溯至19世纪后期，通常认为是菲利克斯·克莱因最先使用，他研究克莱因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中，证明著名的蒂茨两择性（Tits alternative）结果，一个主要工具就是乒乓引理。这结果指出任何有限生成的线性群，或是一个逼肖可解群（virtually solvable group），或是包含一个秩2的自由子群。乒乓引理及其引申结果广泛应用于几何拓扑学及几何群论。

设为群，作用在集合上，₁和₂是的非平凡子群，是₁和₂生成的群。若有两个不交非空子集₁和₂，使得

则是₁和₂的自由积，即${\displaystyle H=H_1\ast <!--\; \ast \; -->H_2}$是二面体群。

设是用₁和₂的元素写出的非空简约字。若${\displaystyle w=a_1{b}_1{a}_2{b}_2\cdots <!--\; \cdots \; -->a_k}$₁和₂的阶不都等于2，不失一般性，假设${\displaystyle \left|H_1\right|>2}$, 写出的非空简约字等于1，则只可能是${\displaystyle ab\cdots <!--\; \cdots \; -->ab}$ > 0有${\displaystyle (ab{)}^n=1}$，则为二面体群${\displaystyle D_{2n}}$，则${\displaystyle H=H_1\ast <!--\; \ast \; -->H_2}$为群，作用在集合上。又设₁, ₂, ... , 是的非平凡子群，且当中至少一个的阶不小于3。若有两两不交的非空子集₁, ₂, ... , ，使得当${\displaystyle i\ne <!--\; \ne \; -->j}$₁, ₂, ... , _k所生成的群是其自由积，即

这条定理的证明与两个子群时的证明类似。

矩阵₁, ₂都同构于无限循环群。因为₁, ₂, ₁, ₂适合乒乓引理的条件，由乒乓引理得出₁, ₂生成的群为其自由积，而两个无限循环群的自由积为秩2的自由群。