排序不等式

✍ dations ◷ 2025-07-27 01:34:15 #代数不等式

排序不等式是数学上的一条不等式。它可以推导出很多有名的不等式,例如算术几何平均不等式(简称算几不等式),柯西不等式,和切比雪夫总和不等式。它是说:

如果

是两组实数。而

x 1 , , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} 的一个排列。排序不等式指出

以文字可以说成是顺序和不小于乱序和,乱序和不小于逆序和。与很多不等式不同,排序不等式不需限定 x i , y i {\displaystyle x_{i},\,y_{i}} 的符号。

排序不等式可以用数学归纳法证明。关键在于下列结果:

x i x j , y i y j {\displaystyle x_{i}\leq x_{j},\,y_{i}\leq y_{j}} ,则有

移项得出

重复以上步骤便可得出排序不等式。


我们设Si为b1,b2,...bn 原序列 的前i个数的和,即Si=b1+b2+...bi;设S' 为打乱顺序后的序列,S'i表示乱序后的前i个数的和。所以有:Si<=S'i. 注意到 a-a<=0 则 Si*(a-a)>=S'i*(a-a)

k = 1 N a b = k = 1 n 1 S k ( a a ) + S n a n >= k = 1 n 1 S k ( a a ) + S n a n ( S n = S n ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}a*b=\sum _{k=1}^{n-1}Sk*(a-a)+Sn*an>=\sum _{k=1}^{n-1}S'k*(a-a)+S'n*an(S'n=Sn)} 得证

相关

  • 横膈膜在哺乳动物的解剖学中,横膈膜(英语:Thoracic diaphragm)是一层骨骼肌薄膜,延展及肋骨底部。横膈膜将胸腔与腹腔相分隔,并对呼吸执行重要功能。解剖学中的膈膜(英语:Diaphragm)也可以
  • 霍奇金氏病霍奇金氏淋巴瘤(英语:Hodgkin's lymphoma)又称霍奇金氏病、何杰金氏病,或何杰金氏淋巴瘤,为淋巴瘤的一型,是一种淋巴细胞的癌变,症状包含发烧、夜间盗汗(英语:Night sweats),以及体重减
  • 欧洲国家杯欧洲足球锦标赛(英语:UEFA European Football Championship),简称欧锦赛、欧洲杯,是一项由欧洲足联成员国间参加的最高级别国家级足球赛事,于1960年举行第一届,其后每四年举行一届
  • 微型发电可持续发展主题可再生能源主题环境主题微型发电是一种小规模的发电模式,电能由个人、小企业或社区自行生产,以满足自身需求,目的是辅助甚至取代集中式电网,减少电网稳定性问题,避
  • 手厥阴心包经手厥阴心包经(Pericardium Meridian of Hand-Jueyin,PC)是一条经脉,十二正经之一,与手少阳三焦经相表里。本经起于天池,止于中冲,左右各9个腧穴。起于胸中,出属心包络,向下通过横隔,从
  • 灰岩石灰岩(灰石)(CaCO3)简称灰岩,又叫石灰石,是以方解石(矿物)为主要成分的碳酸钙岩。石灰岩主要是在浅海的环境下形成的。石灰岩按成因可划分为粒屑石灰岩(流水搬运、堆积形成);生物骨
  • 三尖瓣线三尖瓣线(tricuspoid)也称为Steiner曲线(Steiner curve),是有三个尖点的圆内螺线,是一个圆绕着直径为其三倍的圆内侧无滑动滚动时,圆上一点产生的一般旋轮线三尖瓣线也可以指有三个
  • 桶盘屿坐标:23°30′40″N 119°31′06″E / 23.511072°N 119.518289°E / 23.511072; 119.518289桶盘屿位于澎湖本岛西南方,面积约0.4平方公里,行政区划属马公市。在马公市中心西南
  • 吉罗拉莫·萨佛纳罗拉吉罗拉莫·萨佛纳罗拉(Girolamo Savonarola;1452年9月21日-1498年5月23日)是一位意大利道明会修士,从1494年到1498年担任佛罗伦斯的精神和世俗领袖。他以在虚荣之火事件中反对文
  • 塞瓦定理塞瓦线段是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理(英语:Ceva's theorem)指出:如果 △ A B C {