首页 >
一元二次公式
✍ dations ◷ 2025-04-02 18:52:27 #一元二次公式
一元二次方程是只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。例如,
x
2
−
3
x
+
2
=
2
{displaystyle x^{2}-3x+2=2}
,
(
3
−
2
i
)
x
2
+
23
−
6
i
π
x
−
sin
2
=
0
{displaystyle left(3-2iright)x^{2}+{sqrt{23-6i}}x-sin 2=0}
,
t
2
−
3
=
0
{displaystyle t^{2}-3=0}
等都是一元二次方程。一元二次方程的一般形式是:古巴比伦留下的陶片显示,在大约公元前2000年(2000 BC)古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约公元前480年,中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右,欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。7世纪印度的婆罗摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代数方程,它同时容许有正负数的根。11世纪阿拉伯的花拉子密 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum中,首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是(引自婆什迦罗第二):将其转化为数学语言:解关于
x
{displaystyle x}
的方程
a
x
2
+
b
x
=
−
c
{displaystyle ax^{2}+bx=-c}在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍,即
4
a
{displaystyle 4a}
,得阿贝尔指出,任意一元二次方程都可以根据
a
{displaystyle a}
、
b
{displaystyle b}
、
c
{displaystyle c}
三个系数,通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。一般来说,一元二次方程有两个解,答案需提供两个不同的数值,只要符合
a
≠
0
{displaystyle aneq 0}
的原则就可以了。把一个一元二次方程变形成一般形式
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
后,如果
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
能够较简便地分解成两个一次因式的乘积,则一般用因式分解来解这个一元二次方程。将方程左边分解成两个一次因式的乘积后(一般可用十字相乘法),分别令每一个因式等于零,可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程,得到的两个解都是原方程的解。如果一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
存在两个实根
x
1
,
x
2
{displaystyle x_{1},x_{2}}
,那么它可以因式分解为
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
=
0
{displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=0}
。例如,解一元二次方程
x
2
−
3
x
+
2
=
0
{displaystyle x^{2}-3x+2=0}
时,可将原方程左边分解成对于
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
)
{displaystyle ax^{2}+bx+c=0qquad left(aneq 0right)}
,它的根可以表示为:公式解可以由配方法得出。首先先将一元二次方程的一般形式
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
除以
a
{displaystyle a}
(
a
{displaystyle a}
在一元二次方程中不为零),将会得到当
2
x
y
=
b
a
x
{displaystyle 2xy={frac {b}{a}}x}
时得到公式解终于出现了:一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。一元二次方程中的判别式对于实系数一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
0
)
{displaystyle ax^{2}+bx+c=0left(0right)}
,
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{displaystyle Delta =b^{2}-4ac}
称作一元二次方程根的判别式。根据判别式,一元二次方程的根有三种可能的情况:即系数为非实数时的一元二次方程,将系数扩展到复数域内,此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与方程中系数的关系。一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
的根的几何意义是二次函数
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
的图像(为一条抛物线)与
x
{displaystyle x}
轴交点的x坐标。另外一种解法是把一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
化为
x
2
=
−
b
a
x
−
c
a
{displaystyle x^{2}=-{frac {b}{a}}x-{frac {c}{a}}}
的形式。则方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
的根,就是函数
y
=
x
2
{displaystyle y=x^{2}}
和
y
=
−
b
a
x
−
c
a
{displaystyle y=-{frac {b}{a}}x-{frac {c}{a}}}
交点的X坐标。通过作图,可以得到一元二次方程根的近似值。在使用计算机解一元二次方程时,跟人手工计算相似,大部分情况下也是根据下面的公式去解
相关
- ICD-9编码列表 (280–289)Template:Diseases of megakaryocytes
- 原杉藻原杉藻(学名:Prototaxites)为一属陆生的真菌,生存于志留纪晚期至泥盆纪晚期(4亿3千万年前 - 3亿6千万年前),其子实体形成类似树干的结构,直径达1米(3英尺),高度则可达8.8米(29英尺),由直径
- 镶嵌镶嵌现象是指从单一受精卵发育而成的同一个体的细胞有不同的遗传组成、染色体结构或染色体数目的现象。镶嵌现象可以和嵌合体相对比,在嵌合体的胚胎发育早期,多个受精卵相融合
- 淋巴器官淋巴结(lymph node)是淋巴系统的一部分(以往亦称做淋巴腺,但其并没有分泌物质的功能,故称为“腺”并不对),作用类似过滤器,内部蜂窝状的结构聚集了淋巴球,能够将病毒与细菌摧毁,当身体
- 偏差发表偏差(英语:publication bias)或称为抽屉问题(英语:file drawer problem),是在学术出版过程发生的一种现象。当某项研究是否发表的决定受着该研究的结论影响时,发表偏差便会发生
- 马鹿洞人马鹿洞人,又称为蒙自人,是现今发现的生存年代距今最近而特征与现代人明显不同的史前人类。1979年,一名中国地理学家在位于中国广西壮族自治区的隆林洞发现了一具不完整的人骨残
- 球形在数学里,球是指球面内部的空间。球可以是封闭的(包含球面的边界点,称为闭球),也可以是开放的(不包含边界点,称为开球)。球的概念不只存在于三维欧氏空间里,亦存在于较低或较高维度,以
- 第三次意大利独立战争意大利统一运动(意大利语:Risorgimento,意为“复兴”,故中文文亦有译为“复兴运动”)是19世纪至20世纪初期间,将意大利半岛内各个国家统一为意大利的政治及社会过程。1861年3月17
- 南乔治亚岛和南桑威奇群岛面积国家领袖立国历史南乔治亚和南桑威奇群岛(英语:South Georgia and the South Sandwich Islands;缩写:SGSSI)为英国在大西洋南部的海外属地。该属地由一连串既偏远且荒凉的岛
- 威兰海因里希·奥托·威兰(德语:Heinrich Otto Wieland,1877年6月4日-1957年8月5日)是一位德国化学家,终生致力于面对天然产物的有机化学研究,成功分离出多种毒素与生物碱。因对胆汁酸