立方数

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:12:14 #算术,多边形数及多面体数,整数数列

第 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个立方数指可以写成 $n^{3}$ $n^{3}$ 的数，当中 $n {\displaystyle n}$ $n$ 必为整数。立方数是边长 $n {\displaystyle n}$ $n$ 的立方体的体积。作为算术用语的“立方”，表示任何数 $n {\displaystyle n}$ $n$ 的三次幂，可用³（Unicode字元179）来表示。

和平方数不同，立方数可存在负数。

若将立方数概念扩展到有理数，则两个立方数的比仍然是立方数，例如， (2 × 2 × 2) / (3 × 3 × 3) = 8/27 = 2/3×2/3×2/3。

若一个整数没有除了 1 之外的立方数为其因数，则称其为无立方数因数的数。

首十二个立方数 A000578为：1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, ...（第零个是0）

虽然形状不同，每个立方数第 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个立方数同时都是第 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个六角锥数，即首 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个中心六边形数之和。

首 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个正立方数之和为 $\left^{2}$ $\left^{2}$ ，即第 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个三角形数的平方

每个整数均可表示成9个或以下的正立方数之和。（华林问题）

1939年，狄克森证明只有23和239需要用9个正立方数的和来表示。

亚瑟·韦伊费列治证明只有15个整数须用8个：15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454 （ A018889）

的士数和士的数都指最小能表示成两个立方数之和的数，但的士数的必须为正数，士的数则无此限。（见1729）

只有一组连续三个立方数之和亦是立方数，就是3, 4, 5的立方，其和等于6的立方。

在十进制，除了1之外，仅有4个的正整数其数字立方之和等同它本身，它们为153, 370, 371, 407，他们是 $n=3$ $n=3$ 的自恋数。这4个三位数，亦可视为将它的数字分成三份，每份的立方之和，相似性质的整数有无限个，如165033, 221859, 336700等（ A056733）。

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