偏导数

在数学中，一个多变量的函数的偏导数（英语：partial derivative）是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。

函数${\displaystyle f}$轴（平行于xOz平面）的切线，以及垂直于轴（平行于yOz平面）的切线。

一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。例如，欲求出以上的函数在点（1, 1）的与平面平行的切线。右图中显示了函数的图像以及这个平面。左图中显示了函数在平面 = 1上是什么样的。我们把变量视为常数，通过对方程求导，我们可以发现在点（x, y）的导数，记为：

于是在点（1, 1）的与平面平行的切线的斜率是3。

在点（1, 1），或称“在（1, 1）的关于的偏导数是3”。

函数可以解释为为自变量而为常数的函数：

也就是说，每一个的值定义了一个函数，记为，它是一个一元函数。也就是说：

一旦选择了一个的值，例如，那么(,)便定义了一个函数，把映射到2 + + 2：

在这个表达式中，是常数，而不是变量，因此是只有一个变量的函数，这个变量是。这样，便可以使用一元函数的导数的定义：

以上的步骤适用于任何的选择。把这些导数合并起来，便得到了一个函数，它描述了在方向上的变化：

这就是关于的偏导数，在这里，∂是一个弯曲的，称为偏导数符号。为了把它与字母区分，∂有时读作“der”、“del”、“dah”或“偏”，而不是“dee”。

一般地，函数(₁,...,)在点（₁,...,）关于的偏导数定义为：

在以上的差商中，除了以外的所有变量都是固定的。这个固定值的选择决定了一个一元函数${\displaystyle f_{a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_{i-<!--\; -\; -->1},a_{i+1},\dots <!--\; \dots \; -->,a_n}(x_i)=f(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_{i-<!--\; -\; -->1},x_i,a_{i+1},\dots <!--\; \dots \; -->,a_n)}$（例如R2或R3）上的标量值函数(₁,...)。在这种情况下，关于每一个变量具有偏导数∂/∂。在点，这些偏导数定义了一个向量：

这个向量称为在点的梯度。如果在定义域中的每一个点都是可微的，那么梯度便是一个向量值函数∇，它把点映射到向量∇（）。这样，梯度便决定了一个向量场。

一个常见的符号滥用是在欧几里得空间R3中用单位向量 ${\displaystyle \stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{i}},\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{j}},\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{k}}}$维欧几里得空间R 的坐标(x₁, x₂, x₃,...,x)和单位向量(${\displaystyle {\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{e}}}_{\mathbf{1}},{\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{e}}}_{\mathbf{2}},{\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{e}}}_{\mathbf{3}},\dots <!--\; \dots \; -->,{\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{e}}}_{\mathbf{n}}}$；它与高度和半径有以下的关系：

关于的偏导数为：

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}V}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}rh}{3}}$关于的偏导数为：
${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}V}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}h}=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2}{3}}$关于和的全导数。它们分别是：
以及
现在假设，由于某些原因，高度和半径的比需要是固定的：
这便给出了关于的全导数：
可以化简为：
类似地，关于的全导数是：
含有未知函数的偏导数的方程，称为偏微分方程，它在物理学、工程学，以及其它应用科学中经常会见到。
与关于和二者相关的全导数是由雅可比矩阵给出的，它的形式为梯度向量${\displaystyle \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}V=(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}V}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}V}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}h})=(\frac{2}{3}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}rh,\frac{1}{3}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2)}$为、和的函数。
的一阶偏导数为：
二阶偏导数为：
二阶混合偏导数为：
高阶偏导数为：
当处理多变量函数时，有些变量可能互相有关，这样就需要明确指定哪些变量是固定的。在诸如统计力学的领域中，关于的偏导数，把和视为常数，通常记为：
像导数一样，偏导数也是定义为一个极限。设为R的一个开子集， :  → R是一个函数。我们定义在点 = (1, ..., ) ∈ 关于第个变量的偏导数为：
即使在某个给定的点，所有的偏导数∂/∂()都存在，函数仍然不一定在该点连续。然而，如果所有的偏导数在的一个邻域内存在并连续，那么在该邻域内完全可微分，且全导数是连续的。在这种情况下，我们称是一个C1函数。
偏导数${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}}$内的另外一个函数，并可以再次求偏导数。如果所有的混合二阶偏导数在某个点（或集合）连续，我们便称为在该点（或集合）的一个C2函数；在这种情况下，根据克莱罗定理，偏导数可以互相交换：