群作用

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

若${\displaystyle \mathrm{G}}$是一个-集合。

完全一样地，可以定义一个在上的右群作用为函数${\displaystyle \mathrm{X}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{G}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{X}}$这样的积在上作用的次序。对于左作用先作用然后是，而对于右作用先作用然后是。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果为一右作用，则

是一左作用，因为

而

所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。

群G作用在集合X上的作用称为:

轨道

若${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm{X}}$的一个元素，且群${\displaystyle \mathrm{G}}$在${\displaystyle \mathrm{X}}$上有着一个作用，那么${\displaystyle x}$的轨道${\displaystyle {\mathrm{G}}_x}$就是指以下列方式定义的${\displaystyle \mathrm{X}}$的子集：

${\displaystyle {\mathrm{G}}_x=\{g\cdot <!--\; \cdot \; -->x|g\in <!--\; \in \; -->\mathrm{G}\}}$

${\displaystyle \mathrm{X}}$的两个轨道，要不彼此相等，要不然其交集就是空集合。这是因为假如两个轨道${\displaystyle {\mathrm{G}}_x}$和${\displaystyle {\mathrm{G}}_y}$有一个共通元素${\displaystyle a}$，那么就可以找到两个${\displaystyle \mathrm{G}}$中的元素${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$，使得${\displaystyle a=m\cdot <!--\; \cdot \; -->x\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{G}}_x}$、${\displaystyle a=n\cdot <!--\; \cdot \; -->y\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{G}}_y}$，同时有${\displaystyle x=m^{-<!--\; -\; -->1}\cdot <!--\; \cdot \; -->a=m^{-<!--\; -\; -->1}n\cdot <!--\; \cdot \; -->y\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{G}}_y}$，反之亦可推出${\displaystyle y=n^{-<!--\; -\; -->1}\cdot <!--\; \cdot \; -->a=n^{-<!--\; -\; -->1}m\cdot <!--\; \cdot \; -->x\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{G}}_x}$，而这使得这两个集合所有的元素都相等。

一个轨道的例子是陪集，假若${\displaystyle \mathrm{H}}$是${\displaystyle \mathrm{G}}$的一个子集，且定义${\displaystyle \mathrm{G}}$中元素的惯常运算规则为${\displaystyle \mathrm{H}}$在${\displaystyle \mathrm{G}}$上的一个作用，那么${\displaystyle \mathrm{H}}$的陪集${\displaystyle \mathrm{a}\mathrm{H}}$(${\displaystyle a\in <!--\; \in \; -->\mathrm{G}}$)就是${\displaystyle a}$的轨道。

不变子集

若S是X的一个子集，群G作用在X上( X 被称作G-set)，对于群G中的所有元素 g，以及所有S中的元素 x，有着 ${\displaystyle g\cdot <!--\; \cdot \; -->x\in <!--\; \in \; -->S}$，

则我们会说 S在G的作用下是封闭的，或是说，S在G作用下是不变的

不动点与稳定子群

若${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm{X}}$的一个元素，对于群${\displaystyle \mathrm{G}}$中的所有元素${\displaystyle g}$而言，都有${\displaystyle g\cdot <!--\; \cdot \; -->x=x}$，那么就称${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm{G}}$-不变的（${\displaystyle \mathrm{G}}$-invariant）。

另外若${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm{X}}$的一个元素，则所有使得${\displaystyle g\cdot <!--\; \cdot \; -->x=x}$的${\displaystyle \mathrm{G}}$中的元素${\displaystyle g}$构成的集合又称${\displaystyle \mathrm{G}}$对于${\displaystyle x}$的稳定子群（stabilizer subgroup of ${\displaystyle \mathrm{G}}$ with respect to ${\displaystyle x}$），一般常常将之记作${\displaystyle \mathrm{G}\mathrm{x}}$(注意：不要将之与上面轨道的符号混淆)。

${\displaystyle \mathrm{G}\mathrm{x}}$是${\displaystyle \mathrm{G}}$的一个子群，因为根据定义${\displaystyle e\cdot <!--\; \cdot \; -->x=x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{G}\mathrm{x}}$，因此${\displaystyle \mathrm{G}}$的单位元${\displaystyle e}$属于${\displaystyle \mathrm{G}\mathrm{x}}$，且假若${\displaystyle m\in <!--\; \in \; -->\mathrm{G}\mathrm{x}}$，那么${\displaystyle m}$的逆元${\displaystyle m^{-<!--\; -\; -->1}}$也是${\displaystyle \mathrm{G}\mathrm{x}}$的元素，因为${\displaystyle x=e\cdot <!--\; \cdot \; -->x=m^{-<!--\; -\; -->1}m\cdot <!--\; \cdot \; -->x=m^{-<!--\; -\; -->1}\cdot <!--\; \cdot \; -->x}$。

轨道-稳定点定理 与Burnside's 引理

考虑一个映射${\displaystyle f:G\cdot <!--\; \cdot \; -->x⟶<!--\; ⟶\; -->G/G_x}$ 可以证明此映射是一个双射的函数，而这个映射的结论就是所谓的 轨道-稳定点定理 ${\displaystyle |G\cdot <!--\; \cdot \; -->x|=}$

而一个跟轨道-稳定点定理相似的结果就是Burnside's 引理，${\displaystyle |X/G|=\frac{1}{|G|}\underset{g\in <!--\; \in \; -->G}{\sum <!--\; \sum \; -->}|X^g|}$

详情请看 西罗定理