单位群

✍ dations ◷ 2025-06-29 21:08:42 #数论,代数数论

在环中，所有可逆元素叫环的单位，所有单位对乘法可构成一个乘法群，叫环的单位群。对环（域）来说，单位群所有元素，和环（域）的所有元素有多少相同，有多少不同，可由环的素理想，分式理想，理想类群来度量。

整数环Z的单位只有1，-1，单位群同构于循环群C₂。模n 的剩余类环Z单位群记为U（Z_n）。仅有U（Z₃），U（Z₄），U（Z₆），U（Z₈），U（Z₁₂），U（Z₂₄）非单位元的阶均为2；非单位元的阶均为其他素数p（p > 2）的单位群不存在。

算术基本定理说明Z环的乘法结构为：每一个非零整数可以表为唯一的若干素数次幂和±1乘。这对O_K的理想的唯一分解对一部分理想正确，不能全正确是因为±1，因为整数1和-1是Z环的可逆元素（即单位，两者组成一个乘法群叫单位群，记为Z×，是个2阶循环群）。更普遍的是，在O_K的形式下全部素元乘法可逆组成一个乘法群，记为O×，群素元称为O_K的单位，这个群比2阶循环群Z×阶大。由狄利克雷单位定理可得：单位群是交换群。更确切的有伽罗瓦模形式：

有限循环群即为K的单位群O×。O_K单元群的阶大小，O_K的格结构，类数公式可以求出。

由在线GNU项目sagemath.org可容易看出2次域单位的判别式、类数、因子分解等各种情况。

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