单位群

✍ dations ◷ 2025-07-08 15:58:48 #数论,代数数论

在环中,所有可逆元素叫环的单位,所有单位对乘法可构成一个乘法群,叫环的单位群。对环(域)来说,单位群所有元素,和环(域)的所有元素有多少相同,有多少不同,可由环的素理想,分式理想,理想类群来度量。

整数环Z的单位只有1,-1,单位群同构于循环群C2。模n 的剩余类环Z单位群记为U(Zn)。仅有U(Z3),U(Z4),U(Z6),U(Z8),U(Z12),U(Z24)非单位元的阶均为2;非单位元的阶均为其他素数p(p > 2)的单位群不存在。

算术基本定理说明Z环的乘法结构为:每一个非零整数可以表为唯一的若干素数次幂和±1乘。这对OK的理想的唯一分解对一部分理想正确,不能全正确是因为±1,因为整数1和-1是Z环的可逆元素(即单位,两者组成一个乘法群叫单位群,记为Z×,是个2阶循环群)。更普遍的是,在OK的形式下全部素元乘法可逆组成一个乘法群,记为O×,群素元称为OK的单位,这个群比2阶循环群Z×阶大。由狄利克雷单位定理可得:单位群是交换群。更确切的有伽罗瓦模形式:

有限循环群即为K的单位群O×。OK单元群的阶大小,OK的格结构,类数公式可以求出。

由在线GNU项目sagemath.org可容易看出2次域单位的判别式、类数、因子分解等各种情况。


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