浮点数

在计算机科学中，浮点（英语：floating point，缩写为FP）是一种对于实数的近似值数值表现法，由一个有效数字（即尾数）加上幂数来表示，通常是乘以某个基数的整数次指数得到。以这种表示法表示的数值，称为浮点数（floating-point number）。利用浮点进行运算，称为浮点计算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。计算机使用浮点数运算的主因，在于电脑使用二进位制的运算。例如：4÷2=2，4=100(2)、2=010(2)，在二进制相当于退一位数。则1.0÷2=0.5=0.1(2)也就是 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} 。依此类推二进制的0.01(2)就是十进制 1 2 2 {displaystyle {frac {1}{2^{2}}}} = 1 4 {displaystyle {frac {1}{4}}} =0.25。由于十进位制无法准确换算成二进位制的部分小数，如0.1，因此只能使用近似值的方式表达。这种表示方法类似于基数为10的科学记数法，在计算机上，通常使用2为基数的幂数来表示。一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × be。在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。如果m的第一位是非0整数，m称作正规化的。有一些描述使用一个单独的符号位（s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的。e是指数。这种表示法的设计，来自于对于值的表现范围，与精密度之间的取舍：可以在某个固定长度的存储空间内表示出某个实数的近似值。例如，一个指数范围为±4的4位十进制浮点数可以用来表示43210，4.321或0.0004321，但是没有足够的精度来表示432.123和43212.3（必须近似为432.1和43210）。当然，实际使用的位数通常远大于4。此外，浮点数表示法通常还包括一些特别的数值：+∞和−∞（正负无穷大）以及NaN（'Not a Number'）。无穷大用于数太大而无法表示的时候，NaN则指示非法操作或者无法定义的结果。其中，无穷大，可表示为inf，在内存中的值是阶码为全1，尾数全0。而NaN在内存中的值则是阶码全1，尾数不全0。浮点指的是带有小数的数值，浮点运算即是小数的四则运算，常用来测量电脑运算速度。大部分计算机采用二进制（b=2）的表示方法。位（bit）是衡量浮点数所需存储空间的单位，通常为32位或64位，分别被叫作单精度和双精度。有一些计算机提供更大的浮点数，例如英特尔公司的浮点运算单元Intel8087协处理器（以及其被集成进x86处理器中的后代产品）提供80位长的浮点数，用于存储浮点运算的中间结果。还有一些系统提供128位的浮点数（通常用软件实现）。在电脑使用的浮点数被电气电子工程师协会（IEEE）规范化为IEEE 754。π的值可以表示为π = 3.1415926...10（十进制）。当在一个支持17位尾数的计算机中表示时，它会变为0.11001001000011111 × 22。由于浮点数不能表达所有实数，浮点运算与相应的数学运算有所差异，有时此差异极为显著。比如，二进制浮点数不能表达0.1和0.01，0.1的平方既不是准确的0.01，也不是最接近0.01的可表达的数。单精度（24比特）浮点数表示0.1的结果为 e = − 4 {displaystyle e=-4} , s = 110011001100110011001101 ( 2 ) {displaystyle s=110011001100110011001101_{(2)}} ，即此数的平方是但最接近0.01的可表达的数是浮点数也不能表达圆周率 π {displaystyle pi } ，所以 tan ⁡ π 2 {displaystyle tan {frac {pi }{2}}} 不等于正无穷，也不会溢出。下面的C语言代码的计算结果为16331239353195370.0，如果用单精度浮点数，则结果为−22877332.0。同样的， sin ⁡ π ≠ 0 {displaystyle sin pi neq 0} 。由于浮点数计算过程中丢失了精度，浮点运算的性质与数学运算有所不同。浮点加法和乘法不符合结合律和分配律。Intel Pentium CPU早期的60-100MHz P5版本在浮点运算单元有一个问题，在极少数情况下，会导致除法运算的精确度降低。这个缺陷于1994年被发现，变成如今广为人知的Pentium FDIV bug，同时这一事件导致Intel陷入巨大的窘态，创建召回项目来回收有问题的处理器。