狄利克雷函数

狄利克雷函数（英语：Dirichlet function）是一个判别自变量是有理数还是无理数的函数。定义在实数范围上、值域为 ${\displaystyle \{0,1\}}$ 的函数，用 ${\displaystyle D(x)}$ 或者 ${\displaystyle {\mathbf{1}}_{\mathbb{Q}}(x)}$ 表示。这是一个典型的处处不连续函数。该函数以约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷的名字命名。

狄利克雷函数是一个处处不连续的可测函数，其图像关于 ${\displaystyle y}$ 轴成轴对称，是一个偶函数。它处处不连续、处处极限不存在、不可积分。

在数学领域，这是一个病态函数。作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限，并且以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数）。该函数黎曼不可积，而在其它一些积分中是可积的。

在实数域上，狄利克雷函数 ${\displaystyle D(x)}$ 定义为

狄利克雷函数也可以表达为一个连续函数序列的双重点极限：

${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R},D(x)=\underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left(\underset{j\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(\cos <!--\; \; -->(k!\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x)\right)}^{2j}\right)}$

其中 ${\displaystyle k}$ 和 ${\displaystyle j}$ 为整数。