点群

✍ dations ◷ 2025-04-02 16:32:22 #晶体学,群论,欧几里得对称

在数学里，点群是指固定一点不动之几何对称（等距同构）的群。

点群存在于任一维度的欧几里得空间中。一个离散之二维点群（英语：Point groups in two dimensions）有时会被称为蔷薇图案群（rosette group），且被用来描述装饰品的对称性。三维点群（英语：Point groups in three dimensions）则大量地被使用于化学之中，尤其是在描述一个分子和形成共价键之分子轨道的对称性，且在一些文献中亦会被称成分子点群。

在每一个维度里都有着无限多个离散点群。但晶体局限定理说只存在有限多个和平移对称（英语：Translational symmetry）相容的离散点群。在一维里有2个，二维里有10个，三维里则有32个，这些点群称做晶体点群。

二维点群（英语：Point groups in two dimensions）可以分成两个不同的种类，根据其对称性是只有旋转而已，还是亦包括镜射。其循环群C（Z抽象群类型）由360/度和其整数倍的旋转所构成。例如，卐有一对称群C₄，是由0度、90度、180度及270度等旋转所构成的。正方形的对称群属于D（Dih抽象群类型）的类型，包含和旋转一样多的镜射。圆的无限旋转对称表示其镜射对称也是无限的，但形式上，圆群S₁是不同于Dih（S₁）的，因为其明确地包含了镜射。

一个无限群不一定需要是连续的；例如，存在一由360/√2度的整数倍之旋转组成的群，其中并不包含有180度的旋转。

=1,2,3,4,6的C和D可以和平移对称相结点，有时还可以以不只一种的方式。因此，这十个群可以产生出17个壁纸群（英语：Wallpaper group）。

更复杂的对称产生于三维之中，详见三维点群（英语：Point groups in three dimensions）。

在任何维数里，所有可能的定点等距同构之连续群为，标记为O()；且其所有可能的旋转之连续子群为，标记为SO()。这并不是向夫立符号（英语：Schoenflies notation），而是从李群理论中生出的习惯标记。

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