康托尔函数

✍ dations ◷ 2025-04-03 12:31:44 #分形,测度论,特殊函数

在数学中,以数学家格奥尔格·康托尔命名的康托尔函数,是一个一致连续,却不绝对连续的函数。

康托尔函数 c : → ,对于x∈,其函数值c(x)可由以下步骤得到:

例如:


若在上定义的f(x)满足下列四个条件,则f(x)即为康托尔函数:

下面我们构造一个函数序列{f()},这个序列将收敛于康托尔函数:首先定义

接下来,对于每个正整数n,函数f()都由函数f()定义:

检查 f()是否每个点都收敛于之前定义的康托尔函数,我们可以发现,

设f()是极限函数, 那么对于任意非负整数n都有,

另外可以注意到只要满足f0(0) = 0, f0(1) = 1 且f0 有界,起始函数f0()具体是什么函数并不重要。

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