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康托尔函数

✍ dations ◷ 2025-11-27 11:35:32 #分形,测度论,特殊函数

在数学中，以数学家格奥尔格·康托尔命名的康托尔函数，是一个一致连续，却不绝对连续的函数。

康托尔函数 c : → ，对于x∈，其函数值c(x)可由以下步骤得到：

例如：

若在上定义的f(x)满足下列四个条件，则f(x)即为康托尔函数：

下面我们构造一个函数序列{f()}，这个序列将收敛于康托尔函数：首先定义

接下来，对于每个正整数n，函数f()都由函数f()定义：

检查 f()是否每个点都收敛于之前定义的康托尔函数，我们可以发现，

设f()是极限函数, 那么对于任意非负整数n都有，

另外可以注意到只要满足f₀(0) = 0, f₀(1) = 1 且f₀ 有界，起始函数f₀()具体是什么函数并不重要。

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