比安基分类

数学中，比安基分类（Bianchi classification），以路易吉·比安基命名，将3维实李代数分为11类，其中9个是单独的组，另两类具有连续统同构类。（有两个组有时也包含在无穷族中，从而分为9类。）“比安基分类”也用于其它维数的类似分类。

所有3维李代数除了 VIII 型与 IX 型可以构造为 R2 与 R 的半直积，其中 R 通过某个 2×2 矩阵作用在 R2 上。不同类型对应与矩阵 的不同类型，具体描述如下。

3维复李代数的分类是类似的，除了 VIII 型与 IX 型变成同构的，以及 VI 型与 VII 型都成为单独一类李代数的一部分。

连通3维李群可做如下分类：它们是对应单连通李群由中心的一个离散子群的商群，故可以由上表得出。

这些群都与瑟斯顿几何化猜想的八几何有关。更确切地，八几何中的七种可以实现为单连通群上的一个左不变度量（有时不止一种方式）。瑟斯顿 2×R 型几何不能用这种方式实现。

每个三维比安基空间有三个基灵向量 ${\displaystyle {\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i^{(a)}}$ 个本征值；参数 跑遍所有正实数：

在宇宙学中，这个分类应用于 3+1 维齐性时空。弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度量是各向同性的，它是 I 型 V 型 与 IX 型的一种特例。一个比安基 IX 型宇宙的特例包含卡斯纳度量与陶布度量。

比安基空间的里奇张量可以分离为与空间相伴的基向量与一个与坐标无关的张量的乘积。

对一个给定的度量 ${\displaystyle d{s}^2={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{ab}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i^{(a)}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k^{(b)}d{x}^{i}d{x}^k}$（这里 ${\displaystyle {\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i^{(a)}d{x}^i}$ 是1-形式），里奇张量 ${\displaystyle R_{ik}}$ 为

这里结构常数的指标被 ${\displaystyle {\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{ab}}$ 上升和下降了，不是 ${\displaystyle x^i}$ 的函数。