基尔霍夫电路定律

基尔霍夫电路定律（Kirchhoff Circuit Laws）简称为基尔霍夫定律，指的是两条电路学定律，基尔霍夫电流定律与基尔霍夫电压定律。它们涉及了电荷的守恒及电势的保守性。1845年，古斯塔夫·基尔霍夫首先提出基尔霍夫电路定律。现在，这定律被广泛地应用于电气工程学。

从麦克斯韦方程组可以推导出基尔霍夫电路定律。但是，基尔霍夫并不是依循这条思路发展，而是从格奥尔格·欧姆的工作成果加以推广得之。

基尔霍夫电流定律又称为基尔霍夫第一定律，表明：

或者，更详细描述，

以方程表达，对于电路的任意节点，

其中，${\displaystyle i_k}$ 是第 ${\displaystyle k}$ 个进入或离开这节点的电流，是流过与这节点相连接的第 ${\displaystyle k}$ 个支路的电流，可以是实数或复数。

由于累积的电荷（单位为库仑）是电流（单位为安培）与时间（单位为秒）的乘积，从电荷守恒定律可以推导出这条定律。其实质是稳恒电流的连续性方程，即根据电荷守恒定律，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和。

思考电路的某节点，跟这节点相连接有 ${\displaystyle n}$ 个支路。假设进入这节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则经过这节点的总电流 ${\displaystyle i}$ 等于流过支路 ${\displaystyle k}$ 的电流 ${\displaystyle i_k}$ 的代数和：

将这方程积分于时间，可以得到累积于这节点的电荷的方程：

其中，${\displaystyle q={\int <!--\; \int \; -->}_0^{t}i(t^{\prime })\mathrm{d}{t}^{\prime }}$ 是累积于这节点的总电荷，${\displaystyle q_k={\int <!--\; \int \; -->}_0^t{i}_k(t^{\prime })\mathrm{d}{t}^{\prime }}$ 是流过支路 ${\displaystyle k}$ 的电荷，${\displaystyle t}$ 是检验时间，${\displaystyle t^{\prime }}$ 是积分时间变数。

假设 ${\displaystyle q>0}$ ，则正电荷会累积于节点；否则，负电荷会累积于节点。根据电荷守恒定律， ${\displaystyle q}$ 是个常数，不能够随着时间演进而改变。由于这节点是个导体，不能储存任何电荷。所以，${\displaystyle q=0}$ 、${\displaystyle i=0}$ ，基尔霍夫电流定律成立：

从上述推导可以看到，只有当电荷量为常数时，基尔霍夫电流定律才会成立。通常，这不是个问题，因为静电力相斥作用，会阻止任何正电荷或负电荷随时间演进而累积于节点，大多时候，节点的净电荷是零。

不过，电容器的两块导板可能会允许正电荷或负电荷的累积。这是因为电容器的两块导板之间的空隙，会阻止分别累积于两块导板的异性电荷相遇，从而互相抵消。对于这状况，流向其中任何一块导板的电流总和等于电荷累积的速率，而不是零。但是，若将位移电流 ${\displaystyle {\mathbf{J}}_D}$ 纳入考虑，则基尔霍夫电流定律依然有效。详尽细节，请参阅条目位移电流。只有当应用基尔霍夫电流定律于电容器内部的导板时，才需要这样思考。若应用于电路分析（circuit analysis）时，电容器可以视为一个整体元件，净电荷是零，所以原先的电流定律仍适用。

由更技术性的层面来说，取散度于麦克斯韦修正的安培定律，然后与高斯定律相结合，即可得到基尔霍夫电流定律：

其中，${\displaystyle \mathbf{J}}$ 是电流密度，${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0}$ 是电常数，${\displaystyle \mathbf{E}}$ 是电场，${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$ 是电荷密度。

这是电荷守恒的微分方程。以积分的形式表述，从封闭表面流出的电流等于在这封闭表面内部的电荷 ${\displaystyle Q}$ 的流失率：

基尔霍夫电流定律等价于电流的散度是零的论述。对于不含时电荷密度 ${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$ ，这定律成立。对于含时电荷密度，则必需将位移电流纳入考虑。

以矩阵表达的基尔霍夫电流定律是众多电路模拟软件（electronic circuit simulation）的理论基础，例如，SPICE或NI Multisim。

基尔霍夫电压定律又称为基尔霍夫第二定律，表明：

或者，换句话说，

以方程表达，对于电路的任意闭合回路，

其中，${\displaystyle m}$ 是这闭合回路的元件数目，${\displaystyle v_k}$ 是元件两端的电压，可以是实数或复数。

基尔霍夫电压定律不仅应用于闭合回路，也可以把它推广应用于回路的部分电路。

在静电学里，电势定义为电场的负线积分：

其中，${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{r})}$ 是电势，${\displaystyle \mathbf{E}}$ 是电场，${\displaystyle \mathbb{L}}$ 是从参考位置到位置 ${\displaystyle \mathbf{r}}$ 的路径，${\displaystyle \mathrm{d}\mathit{\ell <!--\; \ell \; -->}}$ 是这路径的微小线元素。

那么，基尔霍夫电压定律可以等价表达为：

其中，${\displaystyle \mathbb{C}}$ 是积分的闭合回路。

这方程乃是法拉第电磁感应定律对于一个特殊状况的简化版本。假设通过闭合回路 ${\displaystyle \mathbb{C}}$ 的磁通量为常数，则这方程成立。

这方程指明，电场沿着闭合回路 ${\displaystyle \mathbb{C}}$ 的线积分为零。将这线积分切割为几段支路，就可以分别计算每一段支路的电压。

由于含时电流会产生含时磁场，通过闭合回路 ${\displaystyle \mathbb{C}}$ 的磁通量是时间的函数，根据法拉第电磁感应定律，会有电动势 ${\displaystyle \mathcal{E}}$ 出现于闭合回路 ${\displaystyle \mathbb{C}}$ 。所以，电场沿着闭合回路 ${\displaystyle \mathbb{C}}$ 的线积分不等于零。这是因为电流会将能量传递给磁场；反之亦然，磁场亦会将能量传递给电流。

对于含有电感器的电路，必需将基尔霍夫电压定律加以修正。由于含时电流的作用，电路的每一个电感器都会产生对应的电动势 ${\displaystyle {\mathcal{E}}_k}$ 。必需将这电动势纳入基尔霍夫电压定律，才能求得正确答案。

思考单频率交流电路的任意节点，应用基尔霍夫电流定律

其中，${\displaystyle i_k}$ 是第 ${\displaystyle k}$ 个进入或离开这节点的电流，${\displaystyle I_k}$ 是其振幅，${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_k}$ 是其相位，${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ 是角频率，${\displaystyle t}$ 是时间。

对于任意时间，这方程成立。所以，设定相量 ${\displaystyle {\mathbb{I}}_k=I_k{e}^{j{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_k}}$ ，则可以得到频域的基尔霍夫电流定律，以方程表达，

频域的基尔霍夫电流定律表明：

这是节点分析的基础定律。

类似地，对于交流电路的任意闭合回路，频域的基尔霍夫电压定律表明：

以方程表达，

其中，${\displaystyle {\mathbb{V}}_k}$ 是闭合回路的元件两端的电压相量。

这是网目分析（mesh analysis）的基础定律。