牛顿旋转轨道定理

在经典力学里，牛顿旋转轨道定理（Newton's theorem of revolving orbits）辨明哪种有心力能够改变移动粒子的角速度，同时不影响其径向运动（图1和图2）。艾萨克·牛顿应用这理论于分析轨道的整体旋转运动（称为拱点进动，图3）。月球和其他行星的轨道都会展现出这种很容易观测到的旋转运动。有心力的方向永远指向一个固定点；称此点为“力中心点”。“径向运动”表示朝向或背向力中心点的运动，“角运动”表示垂直于径向方向的运动。

发表于1687年，牛顿在巨著《自然哲学的数学原理》，第一册命题43至45里，推导出这定理。在命题43里，他表明只有有心力才能达成此目标，这是因为感受有心力作用的粒子，其运动遵守角动量守恒定律。在命题44里，他推导出这有心力的特征方程，证明这有心力是立方反比作用力，与粒子位置离力中心点的径向距离${\displaystyle r}$的三次方成反比。在命题45里，牛顿假定粒子移动于近圆形轨道，将这定理延伸至任意有心力状况，并提出牛顿拱点进动定理（Newton's apsidal precession theorem）。

天文物理学家苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡在他的1995年关于《自然哲学的数学原理》的评论中指出，虽然已经过了三个世纪，但这理论仍然鲜为人知，有待发展。自1997年以来，唐纳德·凌澄-贝尔（Donald Lynden-Bell）与合作者曾经研究过这理论。2000年，费绍·玛侯嵋（Fazal Mahomed）与F·娃达（F. Vawda）共同贡献出这理论的延伸的精确解。

过去几千年来，天文学家有系统地观测天空中的星体运动，发现各种各样的恒星有规律地绕行，相对位置永远保持不变。可是，也有一些星体被观测到“漫游”于这些以恒星为背景的前方，其轨迹比较难以捉摸，大多数这种星体被称为行星。虽然它们通常沿着一条路径循着同样方向从天空的这一端移动到那一端（请参阅黄道），但是某些独特的行星有时候会短暂地逆转其移动方向，显示出逆行运动。

为了描述这种忽前忽后的运动，阿波罗尼奥斯（公元前262年–前190年）提出均轮与本轮的概念。按照这概念，行星的本身绕行的轨迹为一个圆圈，而这个圆圈的圆心又循着另一个圆圈的轨迹绕行；如此这般一个搭著一个，就像儿童乐园里的咖啡杯游戏一样。任意轨道可以用足够数量、仔细设定的本轮来模拟，因为这方法对应于现代的傅里叶变换。大约350年后，托勒密编纂出《天文学大成》。在这本书里，他发展出来的系统能够比美那时代最准确的天文观测。托勒密采用亚里斯多德的地心学说来解释自己发展出来的系统。地心学说强调行星只能运行于以地球为圆心的同心圆球面。之后的一千多年，学术界公认这是最正确的宇宙模型。

在16世纪，由于天文学家第谷·布拉赫和物理学家约翰内斯·开普勒的共同努力，研究出许多关于行星运动的科学理论。经过多年披星戴月、不眠不休地细心观测，第谷获得许多非常准确的行星运动数据。第谷慷慨无私地将这些数据托付给开普勒，使他能够专心研究这些数据，因而推论出关于行星运动的开普勒定律。根据这定律，在太阳系里，各个行星绕着太阳（不是地球）公转；这公转轨道的形状是椭圆形，而不是本轮形。开普勒第二定律和第三定律更给出具体的预测数值：在相等时间内，太阳和公转中的行星的连线所扫过的面积都是相等的（称此连线为行星的“连心线”）；绕着太阳的各个行星，其公转周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。后来，更准确的观测又显示出，由于拱点进动，椭圆的长轴也会随着时间演进而缓慢地旋转。轨道近拱点和远拱点分别是行星的公转轨道离椭圆焦点（力中心点）最近或最远的位置，又共称为拱点。对于绕着太阳的行星的公转轨道，近日点和远日点都是拱点。

大约80年后，于1687年，牛顿发表了《自然哲学的数学原理》。在这本巨著里，牛顿创建的物理理论能够完全解释开普勒的三条定律。这理论建构于牛顿运动定律和牛顿万有引力定律。牛顿提出，任意两个物体彼此之间相互作用的重力是一种有心力，大小与这两个物体各自的质量乘积成正比，与这两个物体之间的距离平方成反比。从他的运动定律来论述，感受到这种作用力的任意粒子的轨道是圆锥曲线，更明确地说，假若这轨道不延伸至无穷远，则必会呈椭圆形。可是，这结论只成立于当系统里只有两个物体（二体问题）的案例。在牛顿之后已有几百年了，虽然科学家能够找到一些特别案例的解答，像欧拉三体问题（英语：Euler's three-body problem）的解答，三个或三个以上的物体因为相互的重力作用而呈现的运动（三体问题、多体问题）仍旧无解。牛顿建议，由于太阳的重力是主掌的作用力，足以掩盖其它作用力，取至一阶近似，其它行星的影响可以被忽略，因此，行星绕着太阳的公转轨道大约为椭圆形。同理，月亮绕着地球的椭圆形公转轨道，所牵涉到的的作用力，极大部分是地球重力，而太阳的重力和其它太阳系的天体的重力都可以被忽略。但是牛顿也表明，行星轨道和月球轨道的拱点进动是这些被忽略的作用力所造成的；特别是月球轨道的拱点进动是因为太阳重力的摄动效应所产生的现象。

牛顿旋转轨道定理是牛顿第一次尝试研究拱点进动的成果。根据这定理，增添某种有心力（立方反比力）可以使得公转轨道绕着力中心点旋转，能够将绕着力中心点公转的粒子的角速度乘以因子${\displaystyle k}$，同时保持粒子的径向运动不变。但是，这定理局限于某种特定的作用力，某种无关紧要的作用力；一些平方反比摄动作用（例如，其它行星施加的作用力）似乎不太可能会恰巧地合并成一个立方反比力。为了使得他的定理能够应用于其它种类的作用力，聪明绝顶的牛顿发觉，在近圆形轨道的极限，任意有心力${\displaystyle F(r)}$的最佳近似值乃是一个立方反比力。这解答牵涉到一种低离心率椭圆轨道；在太阳系里，大多数轨道都是这种轨道。为了找到这近似值，牛顿发展出一种无穷级数，可以视为泰勒展开的前驱。这近似使得牛顿能够估算任意有心力的进动率。牛顿用这近似来检测各种各样造成月亮轨道的拱点进动的作用力模型。但是月亮运动轨道问题错综复杂，牛顿心有余而力不足，无法给出一个准确的月亮轨道的拱点进动的重力模型。后来，亚历克西斯·克莱罗于1747年研究出一个比较准确的模型。19世纪末期，乔治·希尔、欧内斯特·布朗（Ernest Brown）、查尔斯-尤斤·德朗奈（英语：Charles-Eugène Delaunay）又分别发展出几种月球运动的分析模型。

牛顿旋转轨道定理不仅可以解释拱点进动，其涉及的范围极为广博。这定理能够描述将立方反比力增添于任意有心力${\displaystyle F(r)}$会产生的效应；这有心力${\displaystyle F(r)}$可能不是像牛顿的万有引力或库仑力般的简单的平方反比作用力，而是相当复杂的未知力。如同数学概述章节表明，这定理便利地简化了经典力学轨道问题：在分析粒子的运动轨道时，不需先行考虑立方反比力，就可以计算分别表达径向运动和角运动的轨道方程${\displaystyle r(t)}$、${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t)}$；然后，通过将粒子的角速度乘以因子${\displaystyle k}$ ,就可以计算出来这立方反比力对于角速度的效应：

其中，${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1}$和${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2}$分别为增添立方反比力之前和之后的角速度。

设定一个感受到任意有心力${\displaystyle F_1(r)}$、质量为${\displaystyle m}$的移动中的粒子，由于其运动为平面运动，粒子的位置可以以极坐标${\displaystyle (r,{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1)}$表示。设定极坐标系的原点于力中心点。随着时间的演进，移动于轨道的粒子的极坐标是时间${\displaystyle t}$的函数${\displaystyle (r(t),{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1(t))}$。

设定另一个感受到有心力${\displaystyle F_2(r)}$、质量为${\displaystyle m}$的移动中的粒子，径向运动也是${\displaystyle r(t)}$，但是角速度是第一个粒子的${\displaystyle k}$倍；也就是说，两个粒子的角坐标的关系式为${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_2(t)=k{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1(t)}$。牛顿表明，增添一个立方反比有心力，将这有心力与${\displaystyle F_1(r)}$共同施加于第二个粒子，就可得到想要的运动：

其中，${\displaystyle L_1}$是第一个粒子的角动量，是有心力的一个运动常数（守恒量）。

称这方程为“增力方程”。假设${\displaystyle k^2>1}$，，则增添的立方反比力是吸引力，如同图1、图4中，绿行星额外感受到的吸引力。明显对比，假设，${\displaystyle F_2(r)-<!--\; -\; -->F_1(r)>0}$，则增添的立方反比力是排斥力，如同图5、图10中，绿行星额外感受到的排斥力，和图1、图4、图5中，红行星额外感受到的排斥力。

增添立方反比力会使得粒子的运动路径也有所改变。由于主要目标是要了解径向变量和角变量之间的关系，所以不需考虑径向运动和角运动对于时间的关系。为了达到这目标，不限制角变量必须在${\displaystyle 0}$至${\displaystyle 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$之间；随着粒子一圈又一圈地绕着力中心点公转，角变量可以无定限地递增。例如，假设粒子绕着力中心点公转两圈，然后绕到初始位置，其终结角度不等于初始角度，而是增加了2×360° = 720°。角变量正式定义为角速度的积分：

其中，${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1}$和${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2}$分别为第一个粒子和第二个粒子的角速度。

假设第一个粒子的路径表示为${\displaystyle r=g({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1)}$，则因为${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_2=k{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1}$，第二个粒子的路径应该表示为${\displaystyle r=g({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_2/k)}$。例如，令第一个粒子的椭圆路径为

其中，${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$都是常数。

那么，第二个粒子的路径应为

按照增力方程，假设${\displaystyle k}$接近${\displaystyle 1}$，但不等于${\displaystyle 1}$，则第二个轨道会与第一个轨道很相像，但是第二个轨道会绕着力中心点旋转，称这现象为“轨道进动”（参阅图3）。假若${\displaystyle k>1}$，则轨道进动方向与粒子公转方向相同（参阅图3）；假若，则轨道进动方向与粒子公转方向相反。

虽然在图3里，进动中的轨道似乎是以角速度常数在均匀地旋转，这只成立于圆形轨道。假设轨道的旋转速度为${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$，则第二个粒子公转的角速度比第一个粒子快${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$；换句话说，两个粒子公转的角速度满足方程${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1+\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$。注意到牛顿旋转轨道定理表明，两个粒子公转的角速度的关系式为${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2=k{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1}$。因此，轨道的旋转速度为${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=(k-<!--\; -\; -->1){\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1}$；只当${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1}$为常数时，${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$也是常数。但是，根据角动量守恒定律，${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1}$随着径向距离${\displaystyle r}$改变，与${\displaystyle r^2}$成反比：

所以只当径向距离${\displaystyle r}$为常数时，${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1}$才会是常数；也就是说，当轨道呈圆形时，${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1}$才会是常数。对于其它案例，${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1}$和${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$都不是常数。

举一个最简单的范例来解释牛顿旋转轨道定理。当没有任何作用力施加于第一个粒子时，也就是说，当${\displaystyle F_1(r)=0}$时，第一个粒子呈静止状态或移动于直线路径。假设这粒子移动于直线路径（图6的蓝线），而且不经过极坐标系的原点（黄色圆点），则此粒子的路径方程为

其中${\displaystyle b}$是最近会遇距离（撞击参数，以红线段表示），${\displaystyle (r,{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1)}$是粒子的极坐标，${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0}$是粒子的径向距离为最近会遇距离时的角度。

当${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}={\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0=-<!--\; -\; -->{90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}$时，粒子的径向距离${\displaystyle r}$为无穷远。随着粒子朝着${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$单调递增的方向移动，径向距离${\displaystyle r}$会单调递减。当粒子移动到${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=0^{\circ <!--\; \circ \; -->}}$

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