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波函数
✍ dations ◷ 2025-04-03 13:20:39 #波函数
在量子力学里,量子系统的量子态可以用波函数(英语:wave function)来描述。薛定谔方程设定波函数如何随着时间流逝而演化。从数学角度来看,薛定谔方程乃是一种波动方程,因此,波函数具有类似波的性质。这说明了波函数这术语的命名原因。波函数
Ψ
(
r
,
t
)
{displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)}
是一种复值函数,表示粒子在位置
r
{displaystyle mathbf {r} }
、时间
t
{displaystyle t}
的概率幅,它的绝对值平方
|
Ψ
(
r
,
t
)
|
2
{displaystyle |Psi (mathbf {r} ,t)|^{2}}
是在位置
r
{displaystyle mathbf {r} }
、时间
t
{displaystyle t}
找到粒子的概率密度。以另一种角度诠释,波函数
Ψ
(
r
,
t
)
{displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)}
是“在某时间、某位置发生相互作用的概率幅”。波函数的概念在量子力学里非常基础与重要,诸多关于量子力学诠释像谜一样之结果与困惑,都源自于波函数,甚至今天,这些论题仍旧尚未获得满意解答。在1920年代与1930年代,理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为路易·德布罗意和埃尔温·薛定谔等等,他们使用的数学工具是微积分,他们共同创建了波动力学。第二个阵营的成员主要为维尔纳·海森堡和马克斯·玻恩等等,使用线性代数,他们建立了矩阵力学。后来,薛定谔证明这两种方法完全等价。:606–609德布罗意于1924年提出的德布罗意假说表明,每一种微观粒子都具有波粒二象性。电子也不例外,具有这种性质。电子是一种波动,是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的物质波频率与波数。既然粒子具有波粒二象性,应该会有一种能够正确描述这种量子特性的波动方程,这点子给予埃尔温·薛定谔极大的启示,他因此开始寻找这波动方程。薛定谔参考威廉·哈密顿先前关于牛顿力学与光学之间的类比这方面的研究,在其中隐藏了一个奥妙的发现,即在零波长极限,物理光学趋向于几何光学;也就是说,光波的轨道趋向于明确的路径,而这路径遵守最小作用量原理。哈密顿认为,在零波长极限,波传播趋向于明确的运动,但他并没有给出一个具体方程来描述这波动行为,而薛定谔给出了这方程。他从哈密顿-雅可比方程成功地推导出薛定谔方程。:207他又用自己设计的方程来计算氢原子的谱线,得到的答案与用玻尔模型计算出的答案相同。他将这波动方程与氢原子光谱分析结果,写为一篇论文,1926年,正式发表于物理学界:163-167。从此,量子力学有了一个崭新的理论平台。薛定谔给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为。那时,物理学者尚未能解释波函数的涵义,薛定谔尝试用波函数来代表电荷的密度,但遭到失败。1926年,玻恩提出概率幅的概念,成功地解释了波函数的物理意义:219-220。可是,薛定谔本人不赞同这种统计或概率方法,和它所伴随的非连续性波函数坍缩,如同爱因斯坦认为量子力学只是个决定性理论的统计近似,薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年,他写给玻恩的一封信内,薛定谔清楚地表明了这意见。:4791927年,道格拉斯·哈特里与弗拉基米尔·福克在对于多体波函数的研究踏出了第一步,他们发展出哈特里-福克方程来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出,后来福克将之加以改善,能够符合泡利不相容原理的要求。:344-345薛定谔方程不具有洛伦兹不变性 ,无法准确给出符合相对论的结果。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式,来寻找一个相对论性方程,并且描述电子的相对论性量子行为。但是这方程给出的精细结构不符合阿诺·索末菲的结果,又会给出违背量子力学的负概率和怪异的负能量现象,他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁,先行发表前面提到的非相对论性部分。:196-197:31926年,奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登将电磁相对作用纳入考量,独立地给出薛定谔先前推导出的相对论性部分,并且证明其具有洛伦兹不变性。这方程后来称为克莱因-戈尔登方程。:31928年,保罗·狄拉克最先成功地统一了狭义相对论与量子力学,他推导出狄拉克方程,适用于电子等等自旋为1/2的粒子。这方程的波函数是一个旋量,拥有自旋性质。:167假设一个自旋为零的粒子移动于一维空间。这粒子的量子态以波函数表示为
Ψ
(
x
,
t
)
{displaystyle Psi (x,t)}
;其中,
x
{displaystyle x}
是位置,
t
{displaystyle t}
是时间。波函数是复值函数。测量粒子位置所得到的结果不是决定性的,而是概率性的。粒子的位置
x
{displaystyle x}
在区间
[
a
,
b
]
{displaystyle }
(即
a
≤
x
≤
b
{displaystyle aleq xleq b}
)的概率
P
a
≤
x
≤
b
{displaystyle P_{aleq xleq b}}
为其中,
t
{displaystyle t}
是对于粒子位置做测量的时间。换句话说,
|
Ψ
(
x
,
t
)
|
2
{displaystyle |Psi (x,t)|^{2}}
是粒子在位置
x
{displaystyle x}
、时间
t
{displaystyle t}
的概率密度。这导致归一化条件:在位置空间的任意位置找到粒子的概率为100%:在动量空间,粒子的波函数表示为
Φ
(
p
,
t
)
{displaystyle Phi (p,t)}
;其中,
p
{displaystyle p}
是一维动量,值域从
−
∞
{displaystyle -infty }
至
+
∞
{displaystyle +infty }
。测量粒子动量所得到的结果不是决定性的,而是概率性的。粒子的动量
p
{displaystyle p}
在区间
[
a
,
b
]
{displaystyle }
(即
a
≤
p
≤
b
{displaystyle aleq pleq b}
)的概率为动量空间波函数的归一化条件也类似:位置空间波函数与动量空间波函数彼此是对方的傅里叶变换。他们各自拥有的信息相同,任何一种波函数都可以用来计算粒子的相关性质。两种波函数之间的关系为:108在一维空间里,运动于位势
V
(
x
)
{displaystyle V(x)}
的单独粒子,其波函数满足含时薛定谔方程其中,
m
{displaystyle m}
是质量,
ℏ
{displaystyle hbar }
是约化普朗克常数。不含时薛定谔方程与时间无关,可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。应用分离变数法,猜想
Ψ
(
x
,
t
)
{displaystyle Psi (x,,t)}
的函数形式为其中,
E
{displaystyle E}
是分离常数,稍加推导可以论定
E
{displaystyle E}
就是能量,
ψ
E
(
x
)
{displaystyle psi _{E}(x)}
是对应于
E
{displaystyle E}
的本征函数。代入这猜想解,经过一番运算,可以推导出一维不含时薛定谔方程:波函数
Ψ
(
r
,
t
)
{displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)}
是概率波。其模的平方
|
Ψ
(
r
,
t
)
|
2
{displaystyle vert Psi (mathbf {r} ,t)vert ^{2},}
代表粒子在该处出现的概率密度,并且具有归一性,全空间的积分波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加,概率的大小取决于两个波函数的相位差,类似光学中的杨氏双缝实验。在量子力学中,可观察量
A
{displaystyle A}
以算符
A
^
{displaystyle {hat {A}}}
的形式出现。
A
^
{displaystyle {hat {A}}}
代表对于波函数的一种运算。例如,在位置空间里,动量算符
p
^
{displaystyle {hat {mathbf {p} }}}
的形式为可观察量
A
{displaystyle A}
的本征方程为对应的
a
{displaystyle a}
称为算符
A
^
{displaystyle {hat {A}}}
的本征值,
ψ
{displaystyle psi }
称为算符
A
^
{displaystyle {hat {A}}}
的本征态。假设对于
A
^
{displaystyle {hat {A}}}
的本征态
ψ
{displaystyle psi }
再测量可观察量
A
{displaystyle A}
,则得到的结果是本征值
a
{displaystyle a}
。假设对于某量子系统测量可观察量
A
{displaystyle A}
,而可观察量
A
{displaystyle A}
的本征态
|
a
1
⟩
{displaystyle |a_{1}rangle }
、
|
a
2
⟩
{displaystyle |a_{2}rangle }
分别拥有本征值
a
1
{displaystyle a_{1}}
、
a
2
{displaystyle a_{2}}
,则根据薛定谔方程的线性关系,叠加态
|
ψ
⟩
{displaystyle |psi rangle }
也可以是这量子系统的量子态:其中,
c
1
{displaystyle c_{1}}
、
c
2
{displaystyle c_{2}}
分别为叠加态处于本征态
|
a
1
⟩
{displaystyle |a_{1}rangle }
、
|
a
2
⟩
{displaystyle |a_{2}rangle }
的概率幅。假设对这叠加态系统测量可观察量
A
{displaystyle A}
,则测量获得数值是
a
1
{displaystyle a_{1}}
或
a
2
{displaystyle a_{2}}
的概率分别为
|
c
1
|
2
{displaystyle |c_{1}|^{2}}
、
|
c
2
|
2
{displaystyle |c_{2}|^{2}}
,期望值为在量子力学中,一类基本的问题是哈密顿算符
H
^
{displaystyle {hat {H}}}
不含时间的情况。对于这问题,应用分离变数法,可以将波函数
Ψ
(
r
,
t
)
{displaystyle Psi (mathbf {r} ,t)}
分离成一个只与位置有关的函数
ψ
(
r
)
{displaystyle psi (mathbf {r} )}
和一个只与时间有关的函数
f
(
t
)
{displaystyle f(t)}
:将这公式代入薛定谔方程,就会得到而
ψ
(
r
)
{displaystyle psi (mathbf {r} )}
则满足本征能量薛定谔方程:3D空间中的自由粒子,其波矢 为.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}k , 角频率 为ω,其波函数为:粒子被限制在x = 0和x = L之间的1D空间中,其波函数为::30-38其中,
ℏ
ω
n
=
n
2
h
2
8
m
L
2
{displaystyle hbar omega _{n}={frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}}
是能量本征值,
n
{displaystyle n}
是正整数,
m
{displaystyle m}
是质量。在1D情况下,粒子处于如下势垒中:其波函数的定态解为(
k
,
κ
{displaystyle k,kappa }
为常数)量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势(由外部的电极,掺杂,应变,杂质产生),两种不同半导体材料的界面(例如:在自组量子点中),半导体的表面(例如:半导体纳米晶体),或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中,但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似无限深方形阱的模型来描述,能级位置取决于势阱宽度。
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