弹性力学

弹性力学，也称弹性理论，是固体力学的一个分支，研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移问题。

作用于物体的外力可分为体积力和表面力。体积力是作用在物体内部体积上的外力，简称体力，例如重力、惯性力、电磁力等。表面力是作用在物体表面上的外力，简称面力，例如流体压力、接触力等。

对符合上述前4项假定的物体，称为理想弹性体。

${\displaystyle \begin{array}{r}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{yx}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{zx}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+X=0\\ \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{xy}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{zy}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+Y=0\\ \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{xz}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{yz}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+Z=0\end{array}}$

${\displaystyle \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathit{\sigma <!--\; \sigma \; -->}+\mathit{f}=\mathbf{0}}$

${\displaystyle \begin{array}{r}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_x=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x},{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{yz}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}\right)\\ {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_y=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y},{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{zx}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\right)\\ {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_z=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z},{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{xy}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\right)\end{array}}$

${\displaystyle \mathit{ϵ<!--\; ϵ\; -->}=\frac{1}{2}\left(\mathit{u}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathit{u}\right)}$

${\displaystyle \begin{array}{r}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_x=\frac{1}{E},{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{yz}=\frac{1}{G}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{yz}\\ {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_y=\frac{1}{E},{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{zx}=\frac{1}{G}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{zx}\\ {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_z=\frac{1}{E},{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{xy}=\frac{1}{G}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{xy}\end{array}}$

${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_z={\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{zx}={\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{zy}=0}$

${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_z={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{zx}={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{zy}=0}$