弹性力学

✍ dations ◷ 2025-06-09 17:41:28 #固体力学

弹性力学，也称弹性理论，是固体力学的一个分支，研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移问题。

作用于物体的外力可分为体积力和表面力。体积力是作用在物体内部体积上的外力，简称体力，例如重力、惯性力、电磁力等。表面力是作用在物体表面上的外力，简称面力，例如流体压力、接触力等。

对符合上述前4项假定的物体，称为理想弹性体。

${\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+X=0\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+Y=0\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+Z=0\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{{yx}}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{{zx}}}{\partial z}}+X=0\\{\frac {\partial \tau _{{xy}}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{{zy}}}{\partial z}}+Y=0\\{\frac {\partial \tau _{{xz}}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{{yz}}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+Z=0\\\end{aligned}}$

$\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+{\boldsymbol {f}}={\boldsymbol {0}}$ $\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+{\boldsymbol {f}}={\boldsymbol {0}}$

${\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad \gamma _{yz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)\\\epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad \gamma _{zx}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\\\epsilon _{z}={\frac {\partial w}{\partial z}},\quad \gamma _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad \gamma _{{yz}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)\\\epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad \gamma _{{zx}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\\\epsilon _{z}={\frac {\partial w}{\partial z}},\quad \gamma _{{xy}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\\\end{aligned}}$

${\boldsymbol {\epsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {u}}\nabla +\nabla {\boldsymbol {u}}\right)$ ${\boldsymbol {\epsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {u}}\nabla +\nabla {\boldsymbol {u}}\right)$

${\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {1}{E}}\left,\quad \gamma _{yz}={\frac {1}{G}}\tau _{yz}\\\epsilon _{y}={\frac {1}{E}}\left,\quad \gamma _{zx}={\frac {1}{G}}\tau _{zx}\\\epsilon _{z}={\frac {1}{E}}\left,\quad \gamma _{xy}={\frac {1}{G}}\tau _{xy}\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {1}{E}}\left,\quad \gamma _{{yz}}={\frac {1}{G}}\tau _{{yz}}\\\epsilon _{y}={\frac {1}{E}}\left,\quad \gamma _{{zx}}={\frac {1}{G}}\tau _{{zx}}\\\epsilon _{z}={\frac {1}{E}}\left,\quad \gamma _{{xy}}={\frac {1}{G}}\tau _{{xy}}\\\end{aligned}}$

$\sigma _{z}=\tau _{zx}=\tau _{zy}=0$ $\sigma _{z}=\tau _{{zx}}=\tau _{{zy}}=0$

$\epsilon _{z}=\gamma _{zx}=\gamma _{zy}=0$ $\epsilon _{z}=\gamma _{{zx}}=\gamma _{{zy}}=0$

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