弹性力学

✍ dations ◷ 2025-07-08 17:05:45 #固体力学

弹性力学,也称弹性理论,是固体力学的一个分支,研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移问题。

作用于物体的外力可分为体积力和表面力。体积力是作用在物体内部体积上的外力,简称体力,例如重力、惯性力、电磁力等。表面力是作用在物体表面上的外力,简称面力,例如流体压力、接触力等。

对符合上述前4项假定的物体,称为理想弹性体。

σ x x + τ y x y + τ z x z + X = 0 τ x y x + σ y y + τ z y z + Y = 0 τ x z x + τ y z y + σ z z + Z = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+X=0\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+Y=0\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+Z=0\\\end{aligned}}}

σ + f = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+{\boldsymbol {f}}={\boldsymbol {0}}}

ϵ x = u x , γ y z = 1 2 ( w y + v z ) ϵ y = v y , γ z x = 1 2 ( u z + w x ) ϵ z = w z , γ x y = 1 2 ( v x + u y ) {\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad \gamma _{yz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)\\\epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad \gamma _{zx}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\\\epsilon _{z}={\frac {\partial w}{\partial z}},\quad \gamma _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\\\end{aligned}}}

ϵ = 1 2 ( u + u ) {\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {u}}\nabla +\nabla {\boldsymbol {u}}\right)}

ϵ x = 1 E , γ y z = 1 G τ y z ϵ y = 1 E , γ z x = 1 G τ z x ϵ z = 1 E , γ x y = 1 G τ x y {\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {1}{E}}\left,\quad \gamma _{yz}={\frac {1}{G}}\tau _{yz}\\\epsilon _{y}={\frac {1}{E}}\left,\quad \gamma _{zx}={\frac {1}{G}}\tau _{zx}\\\epsilon _{z}={\frac {1}{E}}\left,\quad \gamma _{xy}={\frac {1}{G}}\tau _{xy}\\\end{aligned}}}

σ z = τ z x = τ z y = 0 {\displaystyle \sigma _{z}=\tau _{zx}=\tau _{zy}=0}

ϵ z = γ z x = γ z y = 0 {\displaystyle \epsilon _{z}=\gamma _{zx}=\gamma _{zy}=0}

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