德布罗意方程组

德布罗意方程组是描述物质波的方程组。德布罗意方程组描述了波长 ${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$ 与动量 ${\displaystyle p}$、频率 ${\displaystyle \mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$ 与总能 ${\displaystyle E}$ 之间的关系。
路易·德布罗意受光的波粒二象性启发，认为微观粒子也有波粒二象性。描述波的物理量为频率、波长；而描述粒子的物理量为能量、动量。德布罗意方程将这两组物理量联系在一起。

德布罗意方程组：
${\displaystyle p=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}k}$
${\displaystyle E=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$
其中
${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}=h/2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$ 为约化普朗克常数
${\displaystyle k}$ 为波数
${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$ 为角速度
于是可以得到另一种表示方式：
${\displaystyle p=h/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$
${\displaystyle E=h\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$

本段落描述的推导是诸多合法的推导的其中一种，它以质能方程和普朗克关系式为基础，进行替换和变形得到结果。
首先，引入爱因斯坦著名的质能方程：${\displaystyle E=m{c}^2}$然后，引入普朗克关系式：
${\displaystyle E=h\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$
德布罗意认为粒子与波具有相同的特性（即在物质世界的量化描述中二者可以被视作是同一的），故他假设二者的效能是等同的：
${\displaystyle m{c}^2=h\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$
由于实际粒子并非以真空光速游动，故德布罗意用 v 代替 c (光速)，得到
${\displaystyle m{v}^2=h\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$
以 ${\displaystyle v/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$，得到：
${\displaystyle m{v}^2=hv/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$
即为波长与粒子速度的关系式。

于是有：
${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=hv/m{v}^2=h/mv=h/p}$
因此得出：
${\displaystyle p=h/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$

上述推导是普适的，然而在微观低速的情况下，人们难以直接得到微粒的动量，因此也难得微粒的德布罗意波长λ。
幸而在低速条件下有E=p2/2m，
所以此时德布罗意波长可以由动能和微粒质量表出
λ=h/p=h/√(2mE)