隔板法

✍ dations ◷ 2025-11-06 09:36:22 #组合数学

隔板法是组合数学的方法，用来处理 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个无差别的球放进 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个不同的盒子的问题。可一般化为求不定方程的解数，并利用母函数解决问题。

隔板法与插空法的原理一样。

现在有 $10 {\displaystyle 10}$ $10$ 个球，要放进 $3 {\displaystyle 3}$ $3$ 个盒子里

隔 $2 {\displaystyle 2}$ $2$ 个板子，把 $10 {\displaystyle 10}$ $10$ 个球被隔开成 $3 {\displaystyle 3}$ $3$ 个部分

如此类推， $10 {\displaystyle 10}$ $10$ 个球放进 $3 {\displaystyle 3}$ $3$ 个盒子的方法总数为 ${\binom {10-1}{3-1}}={\binom {9}{2}}=36$ ${\binom {10-1}{3-1}}={\binom {9}{2}}=36$

$n {\displaystyle n}$ $n$ 个球放进 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个盒子的方法总数为 ${\binom {n-1}{k-1}}$ ${\binom {n-1}{k-1}}$

问题等价于求 $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n$ $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n$ 的可行解数，其中 $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ 为正整数。

现在有 $10 {\displaystyle 10}$ $10$ 个球，要放进 $3 {\displaystyle 3}$ $3$ 个盒子里，并允许空盒子。考虑 $10+3$ $10+3$ 个球的情况：

每个盒子的球都被拿走一个，得到一种情况，如此类推：

$n {\displaystyle n}$ $n$ 个球放进 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个盒子的方法总数（允许空盒子），等同于 $n+k$ $n+k$ 个球放进 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个盒子的方法总数（不允许空盒子），即 ${\binom {n+k-1}{k-1}}$ ${\binom {n+k-1}{k-1}}$

问题等价于求 $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n$ $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n$ 的可行解数，其中 $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ 为非负整数。

${\binom {n+k-1}{k-1}}$ ${\binom {n+k-1}{k-1}}$ 也是 $(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})^{n}$ $(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})^{n}$ 展开式的项数 $\sum _{n_{1}+n_{2}+...+n_{k}=n}1$ $\sum _{{n_{1}+n_{2}+...+n_{k}=n}}1$

相关

结构规则在证明论中，结构规则是不提及任何逻辑连结词的推理规则，它直接操作于判断或相继式。结构规则通常模仿逻辑的元理论性质。拒绝一个或多个结构规则的逻辑被归类为亚结构逻辑。没
急症护理重症医学（Intensive care medicine ）是医学中的一个分支，诊断及管理会危及生命的疾病或是情形，会需要器官支持（英语：Organ support）及侵入性监测设备。在重症监护室中常见的设备有
卢瓦尔河谷卢瓦尔河谷地区（法语：Vallée de la Loire）是一个法国的自然区，被称为“法国的花园”和“法语的摇篮”，以其高质量的建筑遗产著称。这些建筑不仅分布在昂布瓦斯、昂热、布卢瓦、
乐生疗养院坐标：25°01′20″N 121°24′33″E / 25.022327°N 121.409257°E / 25.022327; 121.409257卫生福利部乐生疗养院，民间俗称乐生院，是台湾一座公立医院，为中华民国卫生福利部所
1384年重要事件及趋势重要人物
布德加奥恩布德加奥恩（Budhgaon），是印度马哈拉施特拉邦桑利县的一个城镇。总人口14727（2001年）。该地2001年总人口14727人，其中男性7801人，女性6926人；0—6岁人口1578人，其中男853人，女725人；识字
陈璧 (成化进士)陈璧（1437年－1514年），字瑞卿，直隶扬州府高邮州人，山西太原左卫官籍。明朝政治人物。同进士出身。山西乡试第四名。成化八年（1472年），参加壬辰科会试，得贡士第十一名。殿试登进士第三甲
萨哈电离方程萨哈电离方程（Saha ionization equation），又称为萨哈-朗缪尔方程（Saha-Langmuir equation），用于描述原子的离子化状态与温度和压力之间的关系的表达式，由印度物理学家梅格纳德·萨
狐鳁狐鳁（学名：），又名圆颌北梭鱼、北梭鱼、竹篙头，为狐鳁科北梭鱼属下的一个种，于1775年描述及命名。该物种主要分布于太平洋，体长可达70公分。
胡德里弗县胡德里弗县（英语：Hood River County）是美国俄勒冈州北部的一个县，北隔哥伦比亚河与华盛顿州相望。面积1,382平方公里。根据美国2000年人口普查，共有20,411人。县治胡德里弗 (Hood