隔板法

✍ dations ◷ 2025-08-03 20:30:28 #组合数学

隔板法是组合数学的方法,用来处理 n {\displaystyle n} 个无差别的球放进 k {\displaystyle k} 个不同的盒子的问题。可一般化为求不定方程的解数,并利用母函数解决问题。

隔板法与插空法的原理一样。

现在有 10 {\displaystyle 10} 个球,要放进 3 {\displaystyle 3} 个盒子里

2 {\displaystyle 2} 个板子,把 10 {\displaystyle 10} 个球被隔开成 3 {\displaystyle 3} 个部分

如此类推, 10 {\displaystyle 10} 个球放进 3 {\displaystyle 3} 个盒子的方法总数为 ( 10 1 3 1 ) = ( 9 2 ) = 36 {\displaystyle {\binom {10-1}{3-1}}={\binom {9}{2}}=36}

n {\displaystyle n} 个球放进 k {\displaystyle k} 个盒子的方法总数为 ( n 1 k 1 ) {\displaystyle {\binom {n-1}{k-1}}}

问题等价于求 x 1 + x 2 + . . . + x k = n {\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n} 的可行解数,其中 x 1 , x 2 , . . . , x k {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}} 为正整数。

现在有 10 {\displaystyle 10} 个球,要放进 3 {\displaystyle 3} 个盒子里,并允许空盒子。考虑 10 + 3 {\displaystyle 10+3} 个球的情况:

每个盒子的球都被拿走一个,得到一种情况,如此类推:

n {\displaystyle n} 个球放进 k {\displaystyle k} 个盒子的方法总数(允许空盒子),等同于 n + k {\displaystyle n+k} 个球放进 k {\displaystyle k} 个盒子的方法总数(不允许空盒子),即 ( n + k 1 k 1 ) {\displaystyle {\binom {n+k-1}{k-1}}}

问题等价于求 x 1 + x 2 + . . . + x k = n {\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n} 的可行解数,其中 x 1 , x 2 , . . . , x k {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}} 为非负整数。

( n + k 1 k 1 ) {\displaystyle {\binom {n+k-1}{k-1}}} 也是 ( a 1 + a 2 + . . . + a k ) n {\displaystyle (a_{1}+a_{2}+...+a_{k})^{n}} 展开式的项数 n 1 + n 2 + . . . + n k = n 1 {\displaystyle \sum _{n_{1}+n_{2}+...+n_{k}=n}1}

相关

  • 猎鹰1号猎鹰1号运载火箭(Falcon 1)为可部分重复使用的发射系统,SpaceX设计制造此火箭供发射商业太空任务,此两节式火箭使用液态氧/煤油作为燃料。第一节使用一颗Merlin;第二节使用一颗Ke
  • 精子捐赠捐精是一种捐赠行为,指男性通过医疗机构,将自己的精子送赠妻子以外的女性,捐精过程男女之间不发生性行为。捐精可能在心理上有困难,因为有不少道德问题尚未解决,例如捐精所生的子
  • 9号线.mw-parser-output .RMbox{box-shadow:0 2px 2px 0 rgba(0,0,0,.14),0 1px 5px 0 rgba(0,0,0,.12),0 3px 1px -2px rgba(0,0,0,.2)}.mw-parser-output .RMinline{float:none
  • 京基100京基100(KK100,前称Kingkey 100),原名京基金融中心(Kingkey Finance Tower),楼高441.8米,共100层, 超越了原深圳第一高楼383.95米的地王大厦,是平安金融中心建成前深圳第一高楼、中国
  • 姨子姨母,又称姨妈、阿姨,简称姨,是亲属关系称谓,指母亲的姐姐或妹妹。有些地方姨妈专指母亲的姐姐,母亲的妹妹则称阿姨、姨娘或姨姨。古称从母。不过,“姨”有时是指姨子(大姨子、小姨
  • EpidataEpiData是一个既可以用于创建数据结构文档,也可以用于数据定量分析一组应用工具的集合。EpiData协会于1999年在丹麦成立。EpiData采用Pascal开发。在允许的情况下,尽可能地使
  • 行星猎人行星猎人计划(Planet Hunters)是“宇宙动物园(英语:Zooniverse (citizen science project))”(Zooniverse)计划的一部分。此计划是耶鲁大学、牛津大学的天文学家,和芝加哥阿德勒天文
  • 尼古拉·阿法纳西也维奇·库比雅克尼古拉·阿法纳西也维奇·库比雅克(俄语:Николай Афанасьевич Кубяк,1881年7月29日(8月10日)-1937年11月27日)他是苏联共产党中央委员会书记处成员。1881年
  • 菊地瞳菊地瞳(6月13日-)是日本的女性声优,事务所为Aksent。粗体字为主要角色。2017年
  • 稻叶敦志稻叶敦志(1971年8月28日-),日本的游戏设计师,出生于石川县金泽市。早年于Irem、SNK就职程序员,1998年加入CAPCOM。后来成为CAPCOM的第四开发部的制作人以及第九开发部的部长,并于20