隔板法

✍ dations ◷ 2025-04-26 12:08:25 #组合数学

隔板法是组合数学的方法，用来处理 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个无差别的球放进 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个不同的盒子的问题。可一般化为求不定方程的解数，并利用母函数解决问题。

隔板法与插空法的原理一样。

现在有 $10 {\displaystyle 10}$ $10$ 个球，要放进 $3 {\displaystyle 3}$ $3$ 个盒子里

隔 $2 {\displaystyle 2}$ $2$ 个板子，把 $10 {\displaystyle 10}$ $10$ 个球被隔开成 $3 {\displaystyle 3}$ $3$ 个部分

如此类推， $10 {\displaystyle 10}$ $10$ 个球放进 $3 {\displaystyle 3}$ $3$ 个盒子的方法总数为 ${\binom {10-1}{3-1}}={\binom {9}{2}}=36$ ${\binom {10-1}{3-1}}={\binom {9}{2}}=36$

$n {\displaystyle n}$ $n$ 个球放进 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个盒子的方法总数为 ${\binom {n-1}{k-1}}$ ${\binom {n-1}{k-1}}$

问题等价于求 $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n$ $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n$ 的可行解数，其中 $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ 为正整数。

现在有 $10 {\displaystyle 10}$ $10$ 个球，要放进 $3 {\displaystyle 3}$ $3$ 个盒子里，并允许空盒子。考虑 $10+3$ $10+3$ 个球的情况：

每个盒子的球都被拿走一个，得到一种情况，如此类推：

$n {\displaystyle n}$ $n$ 个球放进 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个盒子的方法总数（允许空盒子），等同于 $n+k$ $n+k$ 个球放进 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个盒子的方法总数（不允许空盒子），即 ${\binom {n+k-1}{k-1}}$ ${\binom {n+k-1}{k-1}}$

问题等价于求 $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n$ $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n$ 的可行解数，其中 $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ 为非负整数。

${\binom {n+k-1}{k-1}}$ ${\binom {n+k-1}{k-1}}$ 也是 $(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})^{n}$ $(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})^{n}$ 展开式的项数 $\sum _{n_{1}+n_{2}+...+n_{k}=n}1$ $\sum _{{n_{1}+n_{2}+...+n_{k}=n}}1$

相关

奥托·布伦费尔斯奥托·布伦费尔斯（德语：Otto Brunfels，1488年－1534年），文艺复兴时期欧洲德国的神学家、植物学家。他著有一本重要的草本植物志《活植物图谱》。该书出版于1530年至1536年，同时还附
太太妻，是男女婚姻中对女性配偶的称谓，与夫相对应。台湾话中将妻子雅称为牵手，清国初年台湾文献记载台湾原住民族、平埔人称妻为牵手，后受台湾不同族群广泛使用，向外人谦称自己配偶；而
术语集术语集是指由某一主题领域内的一套命名所构成的集合。简单术语集的例子可以是用于描述某一类别的一系列词语，如“树木类型”、“身体的组成结构”。本体 (信息科学)是一种特
2010 TKsub7/sub2010 TK7是由NASA的红外线空间望远镜广域红外线巡天探测卫星（WISE）于2010年10月发现的小行星。2011年7月27日《自然》期刊发表的一篇论文证明2010 TK7是地球的特洛伊小行星，它
提毗提毗（天城文梵语：देवी，转写：Devī），梵语即为“女神”之意，象征了神圣的女性面，印度教的性力派认为提毗与提婆——男神是相互不可或缺的对存在。婆罗门教奉行一元论，认为提毗是所
英格丽·多贝西英格丽·多贝西（荷兰语：Ingrid Daubechies，1954年8月17日－），比利时物理学家、数学家。因对应用于图像压缩和信号处理的小波变换的研究而蜚声科学界。英格丽·多贝西于1975年毕业于
乌戈·贡克尔·吕埃尔乌戈·贡克尔·吕埃尔（Hugo Gunckel Lüer，1901年8月10日－1997年7月17日），智利植物学家、药剂师与大学教授。
亚历山大·波菲里耶维奇·鲍罗丁亚历山大·波菲里耶维奇·鲍罗丁（俄语：Алекса́ндр Порфи́рьевич Бороди́н，1833年11月12日－1887年2月27日）出生在圣彼得堡，也去世于圣彼得堡，是俄国
瓯柑瓯柑又称瓯柑橘（学名：或）属宽皮柑橘类，柑的一种，温州传统特产水果。温州各地均有栽培，因为温州古称为瓯越而因此得名，已有1300多年的栽培历史。成熟的瓯柑扁圆上面略凸呈倒卵形，
腓特烈-奥古斯特-万德山坐标：47°04′55″N 12°23′26″E / 47.081944°N 12.390556°E / 47.081944; 12.390556腓特烈-奥古斯特-万德山（德语：Friedrich-August-Wand），是奥地利的山峰，位于该国西部，由蒂