富比尼–施图迪度量

在数学中，富比尼–施图迪度量（Fubini–Study metric）是射影希尔伯特空间上一个凯勒度量。所谓射影希尔伯特空间即赋予了埃尔米特形式的复射影空间 CP。这个度量最先由圭多·富比尼与爱德华·施图迪在1904年与1905年描述。

向量空间 C+1 上一个埃尔米特形式定义了 GL(+1,C) 中一个酉子群 U(+1)。一个富比尼–施图迪度量在差一个位似（整体缩放）的意义下由这样一个 U(+1) 作用下的不变性决定；从而是齐性的。赋予这样一个富比尼–施图迪度量后，CP 是一个对称空间。度量的特定正规化与(2+1)-球面上的标准度量有关。在代数几何中，利用一个正规化使 CP 成为一个霍奇流形。

富比尼–施图迪度量自然出现于复射影空间的商空间构造。

具体地，可以定义 CP 由 C+1 中复直线组成的空间，即 C+1 在将一点与其所有复数倍联系在一起的等价关系下的商。这与在乘法群 C* = C \ {0} 的对角群作用下的商相同：

这个商将 C+1 实现为底空间 CP 上的复线丛（事实上这就是 CP 上所谓的重言丛）。CP 中的一点等同于 (+1)-元组 模去非零复缩放的一个等价类；这些 称为这个点的齐次坐标。

进一步，我们可以分两步实现这个商：因为乘以一个非零复数 =  iθ 可以惟一地想成一个以模长 为因子的缩放与沿着原点一个逆时针旋转角度 ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$+1→CP 分成两块。

其中第 (a) 步以正实数乘法群 R+ 的缩放 Z ~ Z，这里 ∈R+，作商；步骤 (b) 是关于旋转 Z ~ iθZ 的商。

第 (a) 步所得的商是由方程 |Z|2 = |₀|2 + ... + ||2 = 1 所定义的实超球面 2+1。第 (b) 步的商实现为 CP = 2+1/1，这里 1 表示旋转群。这个商由著名的霍普夫纤维化1 → 2+1 → CP实现 ，纤维属于 ${\displaystyle S^{2n+1}}$ 作用在黎曼流形 (,)上，则为了是轨道空间 / 拥有一个诱导度量，${\displaystyle g}$-轨道必须是常值，这便是说对任何元素 ∈ 以及一对向量场 ${\displaystyle X,Y}$(,) = (,)。

'+1 上标准埃尔米特度量在标准基下为

它的实化是 R2 上标准欧几里得度量。这个度量在 C* 的作用下没有不变性，所以我们不能直接将其推下到商空间 CPn 中。但是，这个度量在旋转群 1 = U(1) 的对角作用下是不变的。从而，上面构造中的步骤 (b) 是可能的只要完成步骤 (a)。

富比尼–施图迪度量是在商CP = 2+1/1 上诱导的度量, 其中 ${\displaystyle S^{2n+1}}$ 中具有齐次坐标(₀,...,) 的一点，只要 ₀ ≠ 0，存在惟一 个坐标集合 (₁,…,) 使得

特别地 = /₀。这个 (₁,…,) 组成 CP 在坐标片 ₀ = {₀ ≠0 } 上的一个仿射坐标系。在任意坐标片 ={≠0} 上通过除以 ，得到一个仿射坐标系。这 +1 个坐标片 盖住了 CP，在 上可以利用仿射坐标系 (₁,…,) 给出度量的具体表达式。坐标导数定义了 CP 全纯切丛的一个标架 ${\displaystyle \{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_n\}}$₁2+...+2。这样，富比尼–施图迪度量在这个标架下的埃尔米特矩阵是

注意每个矩阵元素是酉不变的：对角作用 ${\displaystyle \mathbf{z}\mapsto <!--\; \mapsto \; -->e^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\mathbf{z}}$ 和 从 1 求到 。

在齐次坐标 Z =  中也有相应的表达式。形式上，我们有

上面所涉及表达式需合适地理解。上面使用了求和约定，希腊字母指标从 0 求到 ，最后一个等式使用了一个张量的反对称部分的标准记号：

现在，d2 的这个表达式显然在重言丛 C+1\{0} 的全空间上定义了一个张量。通过沿着 CP 上重言丛的一个全纯截面 σ 拉回为 CP 上一个张量。还需验证拉回值与界面的选取无关：这可以直接计算。

差一个整体正规化常数，这个度量的凯勒形式为

其拉回显然与全纯界面的选取无关。量 log|Z|2 是 CP 的凯勒数量。

当 = 1，有由球极投影给出的微分同胚 ${\displaystyle S^2\cong <!--\; \cong \; -->{\mathbb{C}\mathbb{P}}^1}$1→3→2。当在 CP1 中的坐标系写出富比尼–施图迪度量，它在实切丛上的限制得出 2 上半径 1/2 的通常圆度量。

具体地，如果 = + i 是黎曼球面 CP1 上标准仿射坐标卡，且=cosθ, = sinθ 是 C 上的极坐标，则一个简单的计算表明

这里 ${\displaystyle d{s}_{us}^2}$ tan(φ/2) = 1, tanθ = / 给出的 2 “数学家的”球坐标（许多物理学家偏向于将 φ 和 θ互换）。

在 = 1 的特例，富比尼–施图迪度量具有恒等于 4 的数量曲率，因为它与 2-球面的圆度量等价（半径 球面的数量曲率是 ${\displaystyle 1/R^2}$ > 1，富比尼–施图迪度量没有常曲率。其截面曲率由下列方程给出

这里 ${\displaystyle \{X,Y\}\in <!--\; \in \; -->T_p{\mathbf{C}\mathbf{P}}^n}$ : CP → CP 是 CP 上的复结构，而 ${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->}$(σ) ⊂ σ ——而最小截面曲率 (1) 在 (σ) 垂直于 σ 的2-维平面 σ 得到。因此，富比尼–施图迪度量经常称为有等于 4 的常全纯截面曲率。

这使 CP 成为一个（非严格的）四分之一拼挤流形（英语：Sphere theorem）；一个著名的定理指出严格四分之一拼挤单连通 -流形一定同胚于球面。

富比尼–施图迪度量也是一个爱因斯坦度量，它与里奇张量成比例：存在一个常数 λ 使得对所有 , 我们有

除此以外，这蕴含着，在差一个数量相乘的意义下，富比尼–施图迪度量在里奇流下不变。这也使 CP 与广义相对论不可分离，它是真空爱因斯坦方程的一个非平凡解。

富比尼–施图迪度量可以用量子力学中广泛使用的狄拉克符号，或代数几何中的射影簇记号来定义。为了将两种语言清楚地等同起来，令

这里 ${\displaystyle \{|e_k⟩<!--\; ⟩\; -->\}}$ 与 上各自的度量。