铁木辛柯梁理论

铁木辛柯梁是20世纪早期由美籍俄裔科学家与工程师斯蒂芬·铁木辛柯提出并发展的力学模型。模型考虑了剪应力和转动惯性，使其适于描述短梁、层合梁以及波长接近厚度的高频激励时梁的表现。结果方程有4阶，但不同于一般的梁理论，如欧拉-伯努利梁理论，还有一个2阶空间导数呈现。实际上，考虑了附加的变形机理有效地降低了梁的刚度，结果在一稳态载荷下挠度更大，在一组给定的边界条件时预估固有频率更低。后者在高频即波长更短时效果更明显，反向剪力距离缩短时也有同样效果。

如果梁材料的剪切模量接近无穷，即此时梁为剪切刚体，并且忽略转动惯性，则铁木辛柯梁理论趋同于一般梁理论。

在静力学中铁木辛柯梁理论没有轴向影响，假定梁的位移服从于

式中${\displaystyle (x,y,z)}$是梁上一点的坐标，${\displaystyle u_x,u_y,u_z}$是位移矢量的三维坐标分量，${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$是对于梁的中性面的法向转角，${\displaystyle w}$是中性面的在${\displaystyle z}$方向的位移。

控制方程是以下常微分方程的解耦系统：

静态条件下的铁木辛柯梁理论，若在以下条件成立时，等同于欧拉-伯努利梁理论

此时，可忽略上面控制方程的最后一项，得到有效的近似，式中${\displaystyle L}$是梁的长度。

对于等截面均匀梁，合并以上两个方程，

在铁木辛柯梁理论中若不考虑轴向影响，则给出梁的位移

式中${\displaystyle (x,y,z)}$是梁内一点的坐标，${\displaystyle u_x,u_y,u_z}$是位移矢量的三维坐标分量，${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$是对于梁的中性面的法向转角，${\displaystyle w}$是中性面${\displaystyle z}$方向的位移.

从以上假设，铁木辛柯梁，考虑到振动，要用线性耦合偏微分方程描述：

其中因变量是梁的平移位移${\displaystyle w(x,t)}$和转角位移${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x,t)}$。注意不同于欧拉-伯努利梁理论，转角位移是另一个变量而非挠度斜率的近似。此外，

这些参数不一定是常数。

对于各向同性的线弹性均匀等截面梁，以上两个方程可合并成

如果梁的位移由下式给出

其中${\displaystyle u_0}$是${\displaystyle x}$方向的附加位移，则铁木辛柯梁的控制方程成为

其中${\displaystyle J=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}I}$，${\displaystyle N(x,t)}$是外加轴向力。任意外部轴向力的平衡依靠应力

式中${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{xx}}$是轴向应力，梁的厚度设为${\displaystyle 2h}$。

包含轴向力的梁方程合并为

如果，除轴向力外，我们考虑与速度成正比的阻尼力，形如

铁木辛柯梁的耦合控制方程成为

合并方程为

确定切变系数不是直接的，一般它必须满足：

切变系数由泊松比确定。更严格的表达方法由多位科学家完成，包括斯蒂芬·铁木辛柯、雷蒙德·明德林（Raymond D. Mindlin）、考珀（G. R. Cowper）和约翰·哈钦森（John W. Hutchinson）等。工程实践中，斯蒂芬·铁木辛柯的表达一般状况下足够好。

对于固态矩形截面：

对于固态圆形截面：