A公理

✍ dations ◷ 2025-04-03 13:14:48 #遍历理论,微分同胚,微分拓扑学,同胚

在数学中,斯梅尔A公理(Smale's axiom A)确定了一类相对容易理解的动力系统。一个著名的例子是斯梅尔马蹄铁映射。术语“A公理”是斯蒂芬·斯梅尔起的。

设M是光滑流形, f : M M {\displaystyle f:M\to M} 是M到自身的微分同胚。以下两个条件合在一起称为A公理:

满足A公理的微分同胚称为A公理微分同胚。若M是二维曲面,则非游荡集的双曲性蕴含了周期点的稠密性,但对三维以上的流形则不成立。尽管如此,A公理微分同胚有时仍被称作双曲微分同胚,因为M上发生有趣的动力学的部分,即 Ω ( f ) {\displaystyle \Omega (f)} ,表现出双曲的行为。

A公理微分同胚是莫尔斯-斯梅尔系统的推广,后者有更多的限制(有限的周期点,稳定、不稳定子流形的横截性)。斯梅尔马蹄铁映射是具有无限周期点和正的拓扑熵的A公理微分同胚。

所有阿诺索夫微分同胚都满足A公理。对于这种情况,整个流形M就是双曲的(尽管还不知道非游荡集 Ω ( f ) {\displaystyle \Omega (f)} 是否构成了整个M)。

Rufus Bowen证明了A公理微分同胚的非游荡集 Ω ( f ) {\displaystyle \Omega (f)} 都有马尔可夫划分。

非游荡集中的周期点的稠密性蕴含了局部极大性:存在 Ω ( f ) {\displaystyle \Omega (f)} 的开邻域U使得

n Z f n ( U ) = Ω ( f ) {\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {Z} }{f^{n}(U)}=\Omega (f)}

A公理系统有一个重要的性质:对微小扰动的结构稳定性。就是说,对系统施加一个微小的扰动,扰动后的系统与未扰动的系统之间有一对一的拓扑对应,把扰动后系统的轨道变成未扰动系统的轨道。这个性质的重要性在于,它表明了A公理系统不是特例,在某种意义上是“普遍的”。

更精确地说,对 f {\displaystyle f} 的连续可微的扰动 f ε {\displaystyle f_{\varepsilon }} ,非游荡集由两个紧致的 f ε {\displaystyle f_{\varepsilon }} -不变子集 Ω 1 , Ω 2 {\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}} 组成。第一个子集同胚于 Ω ( f ) {\displaystyle \Omega (f)} ,同胚映射h满足:

f ε h ( x ) = h f ( x ) , x Ω ( f ) {\displaystyle f_{\varepsilon }\circ h(x)=h\circ f(x),\quad \forall x\in \Omega (f)}

Ω 2 {\displaystyle \Omega _{2}} 是空集,则h是到 Ω ( f ε ) {\displaystyle \Omega (f_{\varepsilon })} 上的满射。若对任意扰动 f ε {\displaystyle f_{\varepsilon }} 都是这种情况则称f是ω稳定的。微分同胚 f {\displaystyle f} 是ω稳定的当且仅当 f {\displaystyle f} 满足A公理与无环条件(轨道一旦离开某个不变子集就不再返回这个子集)。

相关

  • 三民三民可以指:
  • 沈一鸣沈一鸣(1957年3月30日-2020年1月2日),中华民国空军一级上将,籍贯江苏宜兴,生于台北士林,曾任参谋总长、国防部副部长、空军司令、国防部常务次长、副参谋总长、空军作战指挥部指挥
  • 小白山脉小白山脉(谚:소백산맥)为韩国境内之山脉,属朝鲜半岛骨干白头大干之最南端,亦为太白山脉之支脉,由太白山脉中段向西南方向支出,形成半岛南部主体山势。山脉南端之智异山海拔 1,915
  • Xbox OneXbox One (简称 Xone)是一台由微软推出的家用电子游戏机,2013年11月在北美与欧洲首度发行。本机为Xbox 360的后继机种,于电子游戏史中分属第八世代。 在2019年12月12日公布其次
  • 固始县固始县,别称“蓼城”,是中国河南省信阳市下辖的一个县,是河南省直管县之一,地处河南省东南隅,南依大别山,北临淮河,属北方与南方、中原与江淮的交融地带。总面积2942.97平方公里,201
  • 眼中的银幕“眼中的银幕”(瞳のスクリーン)是日本的男子偶像团体Hey! Say! JUMP的第5张单曲。2010年2月24日由J Storm发售。继前作“午夜的影子男孩”以来,约1年4个月发售的作品。 这个在
  • 熊脂熊脂,是熊科动物体内的脂肪。历史上欧洲、北美、亚洲北部,包括中国东北地区的居民,在猎获熊类之后,会将其体内大量的脂肪保存使用,用途和猪油、牛油等其它动物脂肪类似。历史上,欧
  • 戴蒙·亚邦戴蒙·亚邦,OBE(英语:Damon Albarn,1968年3月23日-)为知名英国音乐人,身兼Blur乐队(中译:布勒)的主唱、虚拟乐队Gorillaz(中译:街头霸王)的主脑、The Good, the Bad & the Queen(中译:好人
  • 陈加命陈加命(?-?),河南杞县人。明朝解元、政治人物。明世宗嘉靖三十四年(1555年),陈加命中式乙卯科河南乡试第一名举人(解元)。
  • 小麦黑粉病小麦黑粉病是危害小麦的主要病害之一;一般分三种: