二元运算

二元运算属于数学运算的一种。二元运算需要三个元素：二元运算符以及该运算符作用的两个变量。如四则运算的加、减、乘、除均属于二元运算。

如在运算1+2之中，二元运算符为“+”，而该运算符作用的操作数分别为1与2。

二元运算只是二元函数的一种，由于它被广泛应用于各个领域，因此受到比其它函数更高的重视。

给定集合${\displaystyle A}$，二元函数${\displaystyle F:A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$称为集合${\displaystyle A}$上的二元运算。给定集合${\displaystyle A}$中两个元素${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$，则按顺序通常写为${\displaystyle a}$F${\displaystyle b}$。更多时候，二元运算会采用某种运算符而不是字母做为标记。

可以看出，“集合${\displaystyle A}$上的二元运算”这样的提法暗示了该运算在${\displaystyle A}$上封闭。

关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下：

设${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$: ${\displaystyle A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，${\displaystyle i\in <!--\; \in \; -->A}$，则：

设${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$: ${\displaystyle A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，${\displaystyle a,b\in <!--\; \in \; -->A}$,${\displaystyle i}$是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$下的幺元。则：

设${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$: ${\displaystyle A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，${\displaystyle z\in <!--\; \in \; -->A}$，则：

设${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$: ${\displaystyle A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，${\displaystyle a\in <!--\; \in \; -->A}$且${\displaystyle a\ne <!--\; \ne \; -->z}$,${\displaystyle z}$是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$下的零元。则：

设${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$: ${\displaystyle A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，则：称${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足交换律，若${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足：${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a,b\in <!--\; \in \; -->A,a\circ <!--\; \circ \; -->b=b\circ <!--\; \circ \; -->a}$；

设${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$: ${\displaystyle A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，则：称${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足结合律，若${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足：${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a,b,c\in <!--\; \in \; -->A,(a\circ <!--\; \circ \; -->b)\circ <!--\; \circ \; -->c=a\circ <!--\; \circ \; -->(b\circ <!--\; \circ \; -->c)}$；

设${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$: ${\displaystyle A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，则：

称${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足左消去律，若${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足：${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a,b,c\in <!--\; \in \; -->A,\text{if }a\ne <!--\; \ne \; -->b,\text{then }c\circ <!--\; \circ \; -->a\ne <!--\; \ne \; -->c\circ <!--\; \circ \; -->b}$

称${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足右消去律，若${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足：${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a,b,c\in <!--\; \in \; -->A,\text{if }a\ne <!--\; \ne \; -->b,\text{then }a\circ <!--\; \circ \; -->c\ne <!--\; \ne \; -->b\circ <!--\; \circ \; -->c}$

称${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足消去律，若${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$同时满足左消去律与右消去律。

设${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$: ${\displaystyle A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，则：称${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足幂等律，若${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足：${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->A,a\circ <!--\; \circ \; -->a=a}$；

设${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$: ${\displaystyle A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，i是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$下的幺元，则：称${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足幂幺律，若${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足：${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->A,a\circ <!--\; \circ \; -->a=i}$（显然此时每个元素都是它自己的逆元）；

设${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$: ${\displaystyle A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，z是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$下的零元，则：称${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足幂零律，若${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$满足：${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->A}$，有${\displaystyle a\circ <!--\; \circ \; -->a=z}$（显然此时每个元素都是零元，而且既是左零元又是右零元）；

设${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$: ${\displaystyle A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$和${\displaystyle \diamond <!--\; \diamond \; -->}$ : ${\displaystyle A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$是集合${\displaystyle A}$上的两个二元运算，则：