广义正交群

数学上，广义正交群或称伪正交群、不定正交群O(,)是所有保持n=p+q维实向量空间上的符号为 (p,q)的非退化对称双线性形式的线性变换组成的李群。这个群的维数是n(n−1)/2。

广义特殊正交群SO(,)是O(,)中所有行列式为1的元素构成的子群。

度量的符号（、分别为正负特征值的个数）在同构的意义下决定该群；交换和相当于度量改变惯性指数，所以给出同样的群。如果或等于0，那么同构于普通正交群O()。我们假设下文中和均是正整数。

群O(,)定义在实向量空间上。对于复空间，所有群O(,; C)都同构于通常正交群O( + ; C)，因为复共轭变换${\displaystyle z_j\mapsto <!--\; \mapsto \; -->i{z}_j}$)一样，O(,)能表示为矩阵群。R,上由对角矩阵给出标准内积：

作为二次型，${\displaystyle Q(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=x_1^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_p^2-<!--\; -\; -->x_{p+1}^2-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->x_{p+q}^2.}$,)是由×矩阵（这里 = +）使得${\displaystyle M^T\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}M=\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$表示矩阵的转秩。容易验证所有这样的矩阵构成一个群。的逆满足

我们得到一个同构群。事实上将η换成任意个正特征值个负特征值的对称矩阵（这样的矩阵必是非奇异的），等价的，任何符号为 (,)的二次型。对角化这个矩阵给出此群共轭于标准群O(,)。

O(,)和SO(,)都不是连通的，分别有4个和2个分支。${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_0(O(p,q))\cong <!--\; \cong \; -->C_2\times <!--\; \times \; -->C_2}$维正定或维负定子空间的定向。特殊正交群有分支${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_0(SO(p,q))=\{(1,1),(-<!--\; -\; -->1,-<!--\; -\; -->1)\}}$,)的单位分支常记作SO+(,)，能和SO(,)中同时保持两个定向的元素的集合等价起来。

群O(,)也不是紧，但包含紧子群O()和O()，分别作用在两个确定子空间上。事实上，O()×O()是O(,)的极大紧子群。而${\displaystyle S(O(p)\times <!--\; \times \; -->O(q))}$,)的极大紧子群。同样，SO()×SO()是SO+(, )的极大紧子群。从而在同论的意义上来说，这些群是（特殊）正交群的积，这样代数拓扑不变量都可以计算出来。

特别的，SO+(, )的基本群是分支基本群的乘积，${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1({\text{SO}}^{+}(p,q))={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(\text{SO}(p))\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(\text{SO}(q))}$，由下表给出：