拉回 (微分几何)

在微分几何中，拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 :→ 是从光滑流形 到 的光滑映射；那么伴随有一个从 上 1- 形式（余切丛的截面）到 上 1-形式的线性映射，这个映射称为由 拉回，经常记作 *。更一般地，任何 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由 拉回到 上。

当映射 是微分同胚，那么拉回与前推一起，可以将任何 上的张量场变换到 ，或者相反。特别地，如果 是 Rn 的开集与 Rn 之间的微分同胚，视为坐标变换（也许在流形 上不同的坐标卡上），那么拉回和前推描述了共变与反变张量用更传统方式（用基）表述的变换性质。

拉回概念背后的本质很简单，是一个函数和另外一个函数的前复合。但是将这种想法运用到许多不同的情形，可以构造许多复杂的拉回。本文从简单的操作开始，然后利用它们构造更复杂的。粗略地讲，拉回手法（利用前复合）将微分几何中多种不同的结构变成反变函子。

设 φ:→ 是光滑流形 与 之间的光滑映射，假设 :→R 是 上一个光滑函数。则 通过 φ 的拉回是 上的光滑函数 φ*，定义为(φ*)() = (φ())。类似地，如果 是 中开集 上的光滑函数，则相同的公式定义了 中开集 -1() 上一个光滑函数。用层的语言说，拉回定义了 上光滑函数层到 φ 的直接像（在 上光滑函数层中）的一个态射。

更一般地，如果 :→ 是从 到任意其他流形 的的光滑映射，则φ*()=(φ()) 是从 到 的一个光滑映射。

如果 是 上一个向量丛（或任意纤维丛），:→ 是光滑映射，那么拉回丛 * 是 上一个向量丛（或更一般地纤维丛），其 中的点 处的纤维由 (*) = ₍₎ 给出。

在此情形，前复合定义了 上截面的一个变换：如果 是 上 的一个截面，那么拉回截面 ${\displaystyle {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}s=s\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$ 上拉回丛 * 的一个截面。

设 Φ:→ 是向量空间 与 之间的一个线性映射（即，Φ 是 (,) 中的元素，也记成 Hom(,)），设

是 上一个多重线性形式（也称为 (0,) 阶张量——但不要和张量场混淆——这里 是乘积中 的因子的个数）。则 由 Φ 的拉回 Φ* 是一个 上的多重线性形式，定义为 与 Φ 的前复合。准确地，给定 中向量 ₁,₂,...,， Φ* 由公式定义

这是 上一个多重线性形式。从而 Φ* 是一个从 上的多重线性形式到 上的多重线性形式的（线性）算子。作为一个特例，注意到如果 是 上一个线性形式（或 (0,1) -张量），那么 是 的对偶空间 * 中一个元素，则 Φ* 是 * 中一个元素，所以拉回定义了对偶空间之间一个线性映射，作用的方向与线性映射 Φ 自己的方向相反：

从张量的观点来看，自然想把来回这种概念推广到任何阶，即 上取值于 个 的张量积 ${\displaystyle W\otimes <!--\; \otimes \; -->W\otimes <!--\; \otimes \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\otimes <!--\; \otimes \; -->W}$,) 阶张量一个拉回算子。

设  : → 是光滑流形间的光滑映射。那么 的前推：_* = d （或 ），是从 的切丛 到拉回丛 * 的（在 上）向量丛同态。从而 _* 的转置是从 ** 到 的余切丛 * 的丛映射。

现在假设 是 * 的一个截面（ 上一个 1-形式），将 与 前复合得到 ** 的一个拉回截面。将上述（逐点）丛映射应用到截面导致 由 的拉回，是 上一个 1-形式，定义为：

对 属于 与 属于 。

对任何自然数 ，上述构造马上可推广到 (0,) 阶张量丛上。流形 上 (0,) 张量场 是 上张量丛的一个截面，在 中 点的截面是多重线性 -形式空间

取 Φ 等于从 到 的一个光滑映射的微分（逐点的），多重线性形式的拉回可与截面的拉回复合得出 上 (0,) 张量场的拉回。更确切地，如果 是 上一个 (0,)-张量场，那么 由 的拉回 是 上 (0,)-张量场 *，定义为

对 属于 与 属于 。

共变张量场拉回的一个特别重要的例子是微分形式的拉回。如果 α 是一个微分 -形式，即 （逐点）反交换 -形式组成的外丛 Λ* 的一个截面，则 α 的拉回是 上一个微分 -形式，定义与上一节相同：

对 属于 与 属于 。

微分形式的拉回有两个性质，使其非常有用。

1. 和楔积相容：假设同上，对 上的微分形式 α 与 β，

2. 和外导数 d 相容：如果 α 是 上一个微分形式，则

当流形之间的映射 是微分同胚，即有一个光滑逆函数，则在向量场上也像 1-形式一样定义拉回，从而通过扩张，对流形上任何混合张量场都可拉回。线性映射

可逆，给出

一个一般的混合型张量场通过张量积分解为 与 两部分，分别用 Φ 与 Φ-1 变换。当 = 时，则拉回和前推刻画了流形 上张量场的变换性质。用传统术语说，拉回描述了张量共变指标的变换性质；相对地，反变指标的变换性质由前推给出。

上一节的构造有一个代表性特例，若 是流形 到自己的微分同胚。在这种情况下，导数 d 是 (,*) 的一个截面。这样便在通过一个一般线性群 () ( = dim ) 相配于 的标架丛 () 的任何丛的截面上导出了拉回作用。

将上述想法应用到由向量场 定义的微分同胚单参数群，对参数求导，得到了任意丛上的李导数概念。

如果 ${\displaystyle \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}$ 上向量丛 的联络（或共变导数）， 是从 到 的光滑映射，那么在 上的向量丛 * 上有拉回联络 ${\displaystyle {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}$，由等式

惟一确定。