本迪克森-杜拉克定理

在数学里，本迪克森-杜拉克定理说明了对于一个二维的驻定动力系统

如果存在${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x,y)}$使得

在研究区域（必须是单连通的）上几乎处处成立，那么这个动力系统不存在周期解。所谓“几乎处处成立”是指不成立的点的集合是一个测度为零的集合。这个定理可以用格林定理证出。

运用反证法，假设研究区域为单连通的区域 ${\displaystyle D}$，其内存在对于动力系统：

的一组周期解${\displaystyle (x,y)}$，其周期为${\displaystyle T}$，那么对于

所围成的区域${\displaystyle D_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}\subset <!--\; \subset \; -->D}$，有

但是由于使得 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}X)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}Y)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}=0}$ 的点 ${\displaystyle (x,y)}$ 的集合是一个测度为零的集合，所以总可以找到 ${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$ 使得${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}X)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}Y)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}}$在零点之外不变号。这样${\displaystyle {\iint <!--\; \iint \; -->}_{D_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}}(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}X)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}Y)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y})dxdy}$不可能为0，矛盾！

因此周期解不存在，定理得证。

American Mathematical Society, Volume 129, Number 11, Pages 3395-3399,S 0002-9939(01)06107-X, Article electronically published on April 25, 2001