史特芬十四面体

✍ dations ◷ 2024-12-23 10:28:26 #史特芬十四面体

史特芬十四面体是一种弹性多面体,由克劳斯·史特芬(德语:Klaus Steffen)于1978年发现:244-247。这种多面体基于布里卡尔八面体(英语:Bricard octahedron)但没有自相交的面。这个多面体一共有14个三角形面,是最简单的由非相交面组成的弹性多面体。其遵循强波纹管猜想(strong bellows conjecture),这意味着其登不变量(英语:Dehn invariant)在形变过程皆保持不变。

史特芬十四面体由14个面、21条边和9个顶点组成。其6个面又可以分成2个子群:来自布里卡尔八面体(英语:Bricard octahedron)的6个三角形组,以及将这些三角形组拼起来的另外两个三角形。

史特芬十四面体的顶点座标为:

其中 x {displaystyle x} r {displaystyle r} 可透过下列方程组得出:

p 5 {displaystyle p_{5}} p 6 {displaystyle p_{6}} p 7 {displaystyle p_{7}} 皆是未知数,其可由下列方程组得出:

p 8 {displaystyle p_{8}} p 9 {displaystyle p_{9}} 亦是未知数,分别可由下列两组方程组得出:

构成史特芬十四面体的14个三角形分别为 p 1 p 2 p 3 {displaystyle triangle {p_{1}}{p_{2}}{p_{3}}} p 7 p 3 p 2 {displaystyle triangle {p_{7}}{p_{3}}{p_{2}}} p 1 p 4 p 2 {displaystyle triangle {p_{1}}{p_{4}}{p_{2}}} p 2 p 4 p 5 {displaystyle triangle {p_{2}}{p_{4}}{p_{5}}} p 2 p 5 p 7 {displaystyle triangle {p_{2}}{p_{5}}{p_{7}}} p 1 p 6 p 4 {displaystyle triangle {p_{1}}{p_{6}}{p_{4}}} p 4 p 6 p 5 {displaystyle triangle {p_{4}}{p_{6}}{p_{5}}} p 5 p 6 p 7 {displaystyle triangle {p_{5}}{p_{6}}{p_{7}}} p 6 p 8 p 7 {displaystyle triangle {p_{6}}{p_{8}}{p_{7}}} p 6 p 9 p 8 {displaystyle triangle {p_{6}}{p_{9}}{p_{8}}} p 1 p 9 p 6 {displaystyle triangle {p_{1}}{p_{9}}{p_{6}}} p 3 p 7 p 8 {displaystyle triangle {p_{3}}{p_{7}}{p_{8}}} p 3 p 8 p 9 {displaystyle triangle {p_{3}}{p_{8}}{p_{9}}} p 1 p 3 p 9 {displaystyle triangle {p_{1}}{p_{3}}{p_{9}}}

根据波纹管定理,多面体的体积必为多项式的根,多项式的系数仅取决于多面体的边长。由于边长不会随着多面体的变形过程改变,因此体积必须保持在多项式的有限个根之一,而不会连续变化,因此史特芬十四面体在不同的变化状态下体积皆保持不变。以上述顶点座标描述的史特芬十四面体为例,虽然其有不少顶点是可变的值,其在所有变化状态下的体积皆为定值,其值约为200.777立方单位。:6

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