裴蜀定理

在数论中，裴蜀等式（英语：Bézout's identity）或裴蜀定理（Bézout's lemma）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数${\displaystyle a}$是${\displaystyle a}$和互素。

裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：${\displaystyle d}$）第二版中给出了问题的描述和证明。

然而，裴蜀推广了梅齐里亚克的结论，特别是探讨了多项式中的裴蜀等式，并给出了相应的定理和证明。

对任意两个整数${\displaystyle a}$是${\displaystyle d}$是${\displaystyle b}$中任意一个正元素${\displaystyle p}$中任意一个正元素都是 ${\displaystyle d_0}$,) 满足${\displaystyle |x|\le <!--\; \le \; -->|b/d|}$及${\displaystyle |y|\le <!--\; \le \; -->|a/d|}$，等号只会在${\displaystyle a}$及${\displaystyle b}$其中一个是另一个的倍数时成立。辗转相除法给出的解会是这两解中的一个。

裴蜀方程${\displaystyle 504x+651y=14}$ 没有整数解，因为504和651的最大公约数是21。而方程${\displaystyle 504x+651y=21}$是有解的。为了求出通解，可以先约掉公约数21，这样得到方程：

通过扩展欧几里得算法可以得到一组解${\displaystyle (-<!--\; -\; -->9,7)}$：${\displaystyle 24\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->9)+31\cdot <!--\; \cdot \; -->7=-<!--\; -\; -->216+217=1}$。

于是通解为：${\displaystyle \left\{\left(1\cdot <!--\; \cdot \; -->-<!--\; -\; -->9+31k,1\cdot <!--\; \cdot \; -->7-<!--\; -\; -->24k\right)|k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}\right\}}$，即

设${\displaystyle a_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->a_n}$为${\displaystyle n}$个整数，${\displaystyle d}$是它们的最大公约数，那么存在整数${\displaystyle x_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n}$ 使得 ${\displaystyle x_1\cdot <!--\; \cdot \; -->a_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n\cdot <!--\; \cdot \; -->a_n=d}$。特别来说，如果${\displaystyle a_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->a_n}$互质（不是两两互质），那么存在整数${\displaystyle x_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n}$ 使得 ${\displaystyle x_1\cdot <!--\; \cdot \; -->a_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n\cdot <!--\; \cdot \; -->a_n=1}$。

${\displaystyle K}$为域时，对于多项式环${\displaystyle K}$里的多项式，裴蜀定理也成立。设有一族${\displaystyle \mathbb{K}}$里的多项式${\displaystyle {\left(P_i\right)}_{i\in <!--\; \in \; -->I}}$。设${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}$为它们的最大公约式（首项系数为1且次数最高者），那么存在多项式${\displaystyle {\left(A_i\right)}_{i\in <!--\; \in \; -->I}}$使得${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=\underset{i\in <!--\; \in \; -->I}{\sum <!--\; \sum \; -->}{A}_i{P}_i}$。特别来说，如果${\displaystyle {\left(P_i\right)}_{i\in <!--\; \in \; -->I}}$互质（不是两两互质），那么存在多项式${\displaystyle {\left(A_i\right)}_{i\in <!--\; \in \; -->I}}$使得${\displaystyle \underset{i\in <!--\; \in \; -->I}{\sum <!--\; \sum \; -->}{A}_i{P}_{=}1}$。

对于两个多项式的情况，与整数时一样可以得到通解。

裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环${\displaystyle A}$是主理想环，${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$为环中元素，${\displaystyle d}$是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$使得：

这是因为在主理想环中，${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$的最大公约元被定义为理想${\displaystyle aA+bA}$的生成元。