数学上，集合上的对称群记作S或Sym()。它的元素是所有到自身的双射。由于恒等函数是双射，双射的反函数也是双射，并且两个双射的复合仍是双射，这个集合关于函数的复合成为群，即是置换群Sym()。两个函数的复合一般记作 o ，在置换群的表示里简记作。
对称群在很多不同的数学领域中，都扮演了重要角色。包括：伽罗华理论、不变量理论、李群的表示理论和组合学等等。
各种置换群中，有限集合上的置换群有着特殊的重要性。
称上的对称群是S。上所有的排列构成了全部一一映射的集合，因此，S有!个元素。对 > 2，S不是阿贝尔群。当且仅当 ≤ 4时，S是可解群。对称群的子群称为置换群。
对称群中，两个置换的乘积就是指双射函数的复合，由符号"∘"（U+2218 ∘ ）来表示，也可以省略。例如：
与的复合应先适用，其后适用。那么在中的次序1将先被映射为元素2，然后再由 的次序2变换成元素2，的次序2先映射为5，然后由 的次序5变换成4；3被 变换成5，如此类推。所以 乘以是：
容易证明长度为L =的轮换(或称循环，如下节叙述)，它的次方会分解为个长度为的轮换。比如( = 2, = 3)：
对换指只交换集合中的两个元素而使其他元素仍变换到自身的置换，例如(1 3)。每个置换都能写成一系列对换的乘积。比如上例中的 = (1 2)(2 5)(3 4)。
由于能被写成奇数个对换的乘积，是一个奇置换。与此相反的，是一个偶置换。
一个置换表达成对换乘积的方式不是唯一的，但每种表达方式中对换的个数的奇偶性不变，可以据此定义奇置换和偶置换。
两个偶置换的乘积是偶置换，两个奇置换的乘积是偶置换，奇置换和偶置换的乘积是奇置换，偶置换和奇置换的乘积是奇置换。于是可以定义置换的正负号（sign）：
在这个定义下，
是一个群同态。({+1,-1}关于乘法构成群)，这个同态的同态核是所有的偶置换，称作n次交错群，记作A。它是S的正规子群，有! / 2个元素。
置换的正负号也可以定义为：
其中n-O(n)表示置换的轮换指数，O(n)表示置换的轨道（orbit）数。群S是A和由一个单一对换生成的任何子群的半直积。
轮换指一种置换，使得对集合{1,...,}中的某个，, (), 2(), ..., () = 是作用下不映射到自身的所有元素。比如说，以下的置换
就是一个轮换。因为(1) = 4, (3) = 1，(4) = 3。2，5不变。我们将这个轮换记作(1 4 3)，它的长度是3。轮换的阶数等于它的长度。如果两个轮换移动的元素皆不相同，则称它们不交。不交的轮换是可交换的，例如(3 1 4)(2 5 6) = (2 5 6)(3 1 4)。每个S中的元素都可以写成若干个互不相交的轮换的乘积。如果不计轮换的排列次序，这种表示是唯一的。
S的共轭类是对于置换轮换表达的结构来说的。两个置换共轭，当且仅当在它们的轮换表达中，轮换的数量以及长度都相等。比如说，在S5中， (1 2 3)(4 5)与(1 4 3)(2 5)共轭，但不与(1 2)(4 5)共轭。
推论：任意有限群都与某个置换群同构。
