纳维-斯托克斯存在性与光滑性

纳维-斯托克斯存在性与光滑性（Navier–Stokes existence and smoothness）是有关纳维－斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在2000年提出的7个千禧年大奖难题中的一个问题。

纳维－斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体）的运动。纳维－斯托克斯方程的解可以用到许多实务应用的领域中。不过对于纳维－斯托克斯方程解的理论研究仍然不足，尤其纳维－斯托克斯方程的解常会包括紊流。虽然紊流在科学及工程中非常的重要，不过紊流仍是未解决的物理学问题之一。

许多纳维－斯托克斯方程解的基本性质都尚未被证明。例如数学家就尚未证明在三维坐标，特定的初始条件下，纳维－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未证明若这样的解存在时，其动能有其上下界，这就是“纳维-斯托克斯存在性与光滑性”问题。

由于了解纳维－斯托克斯方程被视为是了解难以捉摸的紊流现象的第一步，克雷数学研究所在2000年5月提供了美金一百万的奖金给第一个提供紊流现象相关信息的人，而不是给第一个创建紊流理论的人。基于上述的想法，克雷数学研究所设定了以下具体的数学问题。

以数学的观点来看，纳维－斯托克斯方程是一个针对任意维度矢量场的非线性偏微分方程。在物理及工程的观点，纳维－斯托克斯方程是一个用连续介质力学描述液体或非稀疏气体运动的方程组。此方程是以牛顿第二运动定律为基础，考虑一黏滞性牛顿流体的所有受力，包括压强、黏滞力及外界的体积力。

由于克雷数学研究所提出的问题是以三维空间下，不可压缩的匀质流体为准，以下也只考虑此条件下的纳维－斯托克斯方程。

令${\displaystyle \mathbf{v}(\mathit{x},t)}$而变化）使得

外力${\displaystyle \mathbf{f}(x,t)}$方向的单位矢量：

则${\displaystyle \mathbf{v}(x,t)}$对位置变数有周期性也就表示对于任何的${\displaystyle i=1,2,3}$，以下的式子均成立：

因此方程不是在整个空间，而是在一商空间 ${\displaystyle {\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3}$，也就是一个3维环面：

有上述的说明后，可以说明需要的假设。初始条件${\displaystyle {\mathbf{v}}_0(x)}$假设是一个光滑及无散度的函数，外力也是一个光滑函数。满足以下的条件：

3.