纳维-斯托克斯存在性与光滑性

✍ dations ◷ 2025-07-09 14:45:50 #偏微分方程,流体动力学,数学中未解决的问题,千禧年大奖难题

纳维-斯托克斯存在性与光滑性(Navier–Stokes existence and smoothness)是有关纳维-斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题,是美国克雷数学研究所在2000年提出的7个千禧年大奖难题中的一个问题。

纳维-斯托克斯方程是流体力学的重要方程,可以描述空间中流体(液体或气体)的运动。纳维-斯托克斯方程的解可以用到许多实务应用的领域中。不过对于纳维-斯托克斯方程解的理论研究仍然不足,尤其纳维-斯托克斯方程的解常会包括紊流。虽然紊流在科学及工程中非常的重要,不过紊流仍是未解决的物理学问题之一。

许多纳维-斯托克斯方程解的基本性质都尚未被证明。例如数学家就尚未证明在三维坐标,特定的初始条件下,纳维-斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未证明若这样的解存在时,其动能有其上下界,这就是“纳维-斯托克斯存在性与光滑性”问题。

由于了解纳维-斯托克斯方程被视为是了解难以捉摸的紊流现象的第一步,克雷数学研究所在2000年5月提供了美金一百万的奖金给第一个提供紊流现象相关信息的人,而不是给第一个创建紊流理论的人。基于上述的想法,克雷数学研究所设定了以下具体的数学问题。


以数学的观点来看,纳维-斯托克斯方程是一个针对任意维度矢量场的非线性偏微分方程。在物理及工程的观点,纳维-斯托克斯方程是一个用连续介质力学描述液体或非稀疏气体运动的方程组。此方程是以牛顿第二运动定律为基础,考虑一黏滞性牛顿流体的所有受力,包括压强、黏滞力及外界的体积力。

由于克雷数学研究所提出的问题是以三维空间下,不可压缩的匀质流体为准,以下也只考虑此条件下的纳维-斯托克斯方程。

v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)} 而变化)使得

外力 f ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {f} (x,t)} 方向的单位矢量:

v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} (x,t)} 对位置变数有周期性也就表示对于任何的 i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} ,以下的式子均成立:

因此方程不是在整个空间,而是在一商空间 R 3 / Z 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}} ,也就是一个3维环面:

有上述的说明后,可以说明需要的假设。初始条件 v 0 ( x ) {\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)} 假设是一个光滑及无散度的函数,外力也是一个光滑函数。满足以下的条件:

3. 3 , p ( x , t ) C ( T 3 × ^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times ^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }({\mathbb {T}}^{3}\times [0,\infty ))">

4. 存在一常数 E ( 0 , ) {\displaystyle E\in (0,\infty )} 使得 T 3 | v ( x , t ) | 2 d x < E {\displaystyle \int _{\mathbb {T} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}dx<E} 对于所有 t 0 . {\displaystyle t\geq 0\,.}

和之前的条件类似,条件3表示函数是光滑及全局定义,条件4表示此解的动能在全局中有上下界。

(C) T 3 {\displaystyle \mathbb {T} ^{3}} 空间下纳维-斯托克斯方程解的存在性及光滑性

f ( x , t ) 0 {\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0} ,对于任何满足上述假设的初始条件 v 0 ( x ) {\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)} ,纳维-斯托克斯方程存在一光滑及全局定义的解,就是存在一速度矢量 v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} (x,t)} 及压强 p ( x , t ) {\displaystyle p(x,t)} 满足上述的条件3及条件4。

(D) T 3 {\displaystyle \mathbb {T} ^{3}} 下纳维-斯托克斯方程解存在性的反证

存在一初始条件 v 0 ( x ) {\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)} 及外力 f ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {f} (x,t)} 使得纳维-斯托克斯方程不存在一解满足上述条件3及条件4。

相关

  • 手术人体解剖学 - 人体生理学 组织学 - 胚胎学 人体寄生虫学 - 免疫学 病理学 - 病理生理学 细胞学 - 营养学 流行病学 - 药理学 - 毒理学外科手术,简称手术,凡指透过器械,经外科
  • 外担菌纲实球黑粉菌目 Doassansiales 叶黑粉菌目 Entylomatales 外担菌目 Exobasidiales Georgefischeriales Microstromatales 腥黑粉菌目 Tilletiales外担菌纲(学名:Exobasidiomycet
  • 巴豆巴豆(学名:Croton tiglium),在中药中指大戟科巴豆属植物巴豆(中药拉丁名:Fructus Crotonis)的干燥成熟果实。巴豆又名落水金刚、猛树、广仔子。广泛分布在中国长江以南各地。常绿灌
  • 七鳃鳗科七鳃鳗科(学名:Petromyzontidae),又名八目鳗、七星子,是圆口纲七鳃鳗亚纲七鳃鳗目的一个科,其下生物是至今少数仅存的无颌类脊椎鱼形动物之一。最古老的七鳃鳗化石,有3.6亿年历史,在
  • 十一氧化六镨十一氧化六镨是一种无机化合物,化学式为Pr6O11。该化合物中,有4个镨原子为+4价,2个镨原子为+3价。十一氧化六镨可由六水合硝酸镨和氢氧化钠的混合物在空气中灼烧而得:硝酸镨和
  • 塔纳米沙漠塔奈米沙漠(Tanami)是澳洲北部的一个沙漠。大部分横亘于北领地中部,小部分伸入西澳大利亚州。
  • 双氢配合物双氢配合物是包含完整氢分子作为配体的配位化合物。最典型的这类化合物是W(CO)3(PCy3)2(H2)。这类化合物的发现解释了金属元素催化的氢分子参与的化学反应。文献已经报道了
  • 长颌似鲹长颌似鲹,又称逆钩鲹,俗名为七星仔、棘葱仔、鬼平,为辐鳍鱼纲鲈形目鲈亚目鲹科的其中一个种。本鱼分布于印度太平洋区,包括东非、马达加斯加、马尔代夫、斯里兰卡、印度、安达曼
  • 向峨乡向峨乡,是中华人民共和国四川省成都市都江堰市下辖的一个乡镇级行政单位。2019年12月,撤销向峨乡、蒲阳镇,设立蒲阳街道,以原向峨乡和原蒲阳镇所属行政区域为蒲阳街道的行政区域
  • 王燮 (清末将领)王燮(1856年-1900年),字襄臣,直隶省顺天府宁河县人,清朝军事将领。王燮的曾祖父为王锡朋、祖父为王承泗,父亲是王楫,有弟王照、王焯。光绪年间,袭骑都尉兼一云骑尉、荫京城右营都司。