冯·诺伊曼全集

✍ dations ◷ 2025-04-02 20:46:49 #集合族

在集合论和有关的数学分支中,冯·诺伊曼全集或冯·诺伊曼集合层次,是由所有集合组成的类,可以分成超限阶级的个体集合(a transfinite hierarchy of individual sets)。

它可以用超限归纳法定义为如下:

等价的说,对于任何序数α,设 V α := β < α P ( V β ) {\displaystyle V_{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}(V_{\beta })\!} ω是继承有限集合的集合,它是不带有无穷公理的集合论的模型。ω+ω是普通数学的全集。它是Zermelo集合论的模型。如果κ是不可及基数(英语:Inaccessible cardinal),则κ是Zermelo-Fraenkel集合论自身的模型,而κ+1是Morse–Kelley集合论的模型。

注意所有个体阶段α都是集合,但是它们的并集是真类。在中的集合叫做继承良基集合;基础公理要求所有集合是良基的而因此是继承良基的。(也有的公理系统忽略基础公理,或把基础公理替换为其强否定,如Aczel的反基础公理,不过这类系统很少被用到)。

给定任何集合,使得是某个α的子集的最小序数α是的阶(或继承等级)。

有两种不同的方式来理解冯·诺伊曼全集和ZFC的联系。粗略的说,形式主义者倾向于把看作是从ZFC公理推出的某种东西(例如,ZFC证明了所有集合都在中)。在另一方面,实在论者会把冯·诺伊曼全集看作从直觉可直接触及的某种东西,而把ZFC公理看作在中为真的命题,透过简单论证(透过自然语言),可以使人信服它们的真确性。一个可能的中间立场是,冯·诺伊曼层次的形象化概念给ZFC公理提供了一个动机(所以这些公理不是任意提出来的),但这不意味ZFC公理确实有描述真实存在的对象。

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