除法

数学中，尤其是在基本计算里，除法可以看成是“乘法的反运算”，也可以理解为“重复的减法”。除法运算的本质就是“把参与运算的除数变为${\displaystyle 1}$，得出被除数的值”。

例如：${\displaystyle 6÷<!--\; ÷\; -->3=2}$，就好像${\displaystyle 6-<!--\; -\; -->3-<!--\; -\; -->3=0}$，${\displaystyle \{\begin{array}{l}6-<!--\; -\; -->3=3\\ 3-<!--\; -\; -->3=0\end{array}}$，${\displaystyle 6}$被${\displaystyle 3}$减了两次后，就变成了${\displaystyle 0}$。

如果

而且${\displaystyle b}$不等于零，那么

其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。

如果除式的商数（${\displaystyle a}$）必须是整数，则称为带余除法，${\displaystyle a\times <!--\; \times \; -->b}$与${\displaystyle c}$相差的数值，称为余数（${\displaystyle d}$）。

这也意味着

在高等数学（包括在科学与工程学中）和计算机编程语言中，${\displaystyle c÷<!--\; ÷\; -->b}$写成${\displaystyle c/b}$。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用，这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中寻找商数的函数为${\displaystyle \mathrm{div}}$，寻找余数的函数则为${\displaystyle \mathrm{mod}}$。

在大部分的非英语语言中，${\displaystyle c:b}$代表${\displaystyle c÷<!--\; ÷\; -->b}$的比，读做c比b；${\displaystyle c/b}$则代表${\displaystyle c÷<!--\; ÷\; -->b}$的比值。用法请参照比例。

整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数${\displaystyle a}$可以被自然数${\displaystyle b}$整除，是指${\displaystyle b}$是${\displaystyle a}$的约数，且a是b的整数倍数，也就是${\displaystyle a}$除以${\displaystyle b}$没有余数。

约数判别法可参照整除规则。

${\displaystyle b\mid <!--\; \mid \; -->a}$表示${\displaystyle b}$整除${\displaystyle a}$，即${\displaystyle a}$是${\displaystyle b}$的倍数，${\displaystyle b}$是${\displaystyle a}$的因数。

${\displaystyle 15}$可以被${\displaystyle 5}$整除，记作${\displaystyle 5\mid <!--\; \mid \; -->15}$。

${\displaystyle 20}$不能被${\displaystyle 6}$整除（因为余数为${\displaystyle 2}$），记作${\displaystyle 6\nmid <!--\; \nmid \; -->20}$。在${\displaystyle \mid <!--\; \mid \; -->}$上加一条斜线即表示不整除。

根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。

算盘也可以做除法运算。

长除法俗称“长除”，适用于正式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。

使用长除法计算${\displaystyle 1260257÷<!--\; ÷\; -->37=34061}$的过程可以表示为：

短除法是长除法的简化版本。在短除法里，被除数放中央，旁以一L型符号表示除法，被除数左侧为除数，下侧为商，省去了长除法逐层计算的过程。

和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明，设有多项式${\displaystyle A}$和非零多项式${\displaystyle B}$，则存在唯一的多项式${\displaystyle Q}$和${\displaystyle R}$，满足：

而多项式${\displaystyle R}$若非零多项式，则其幂次严格小于${\displaystyle B}$的幂次。

作为特例，如果要计算某个多项式${\displaystyle P}$除以一次多项式${\displaystyle X-<!--\; -\; -->a}$得到的余多项式，可以直接将${\displaystyle a}$代入到多项式${\displaystyle P}$中。${\displaystyle P}$除以${\displaystyle X-<!--\; -\; -->a}$的余多项式是${\displaystyle P(a)}$。

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算${\displaystyle X^3-<!--\; -\; -->12X^2-<!--\; -\; -->42}$除以${\displaystyle X-<!--\; -\; -->3}$，列式如下：

因此，商式是${\displaystyle X^2-<!--\; -\; -->9X-<!--\; -\; -->27}$，余式是${\displaystyle -<!--\; -\; -->123}$。

通常不定义除以零这种形式。亦即当除以0 或分数的分母为0 时，该式或该数无意义。