高斯积分

✍ dations ◷ 2025-08-27 19:15:51 #高斯积分

高斯积分(英语:Gaussian integral),有时也被称为概率积分,是高斯函数(−2)在整个实数线上的积分。它得名于德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏。

高斯积分用处很广。例如,利用换元积分法,它可以用来计算正态分布的归一化常数。在极限为有限值的时候,高斯积分与正态分布的误差函数和累积分布函数密切相关。在物理学中,这种积分也经常出现:例如在量子力学中,谐振子基态的概率密度;在路径积分公式中,谐振子的传播子;以及统计力学中的配分函数,以上的计算都要用到这个积分。

我们可以通过Risch算法证明误差函数不具有初等函数形式;尽管如此,高斯积分可以通过多元微积分方法分析求解。虽然不定积分 e x 2 d x {displaystyle int e^{-x^{2}},dx} 为自然数时,沃利斯积分定义为:

因此有 n + 1 n + 2 = I n + 2 I n {displaystyle {frac {n+1}{n+2}}={frac {I_{n+2}}{I_{n}}}} 的。上式被用于研究多元正态分布。

同样,

这里的 σ 表示的是有序集 {1, ..., 2} 的不同排列。等式右边的系数是对 N {displaystyle N} } 中所有的组合的求和(the sum over all combinatorial pairings of {1, ..., 2} of copies of −1)。

或者,

以上积分中的 f {displaystyle f} 是解析函数,且函数值的增长必须满足某些边界条件以及另一些特定要求。微分算子的幂可以理解为幂级数。

虽然泛函积分没有严格的定义,但是我们仍然可以依照有限维的情况“定义”高斯泛函积分。 然而, ( 2 π ) {displaystyle (2pi )^{infty }} 无穷大的问题依然存在,且大部分的泛函行列式(英语:Functional determinant)也是无穷大的。如果只考虑比例:

则可以解决这个问题。在德维特标记法(英语:DeWitt notation)下,此公式与有限维的情况一致。

如果A是一个对称的正定矩阵,则有(假设均为列向量)

其中,n 为正整数,“!!”表示双阶乘。这类积分的一种简单的计算方式是应用莱布尼兹积分规则(英语:Leibniz integral rule)对参数进行微分:

也可以先分部积分,然后找出递推关系之后求解。

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