分布 (数学分析)

数学分析中的分布是广义函数的一种，由法国数学家洛朗·施瓦茨首先于二十世纪五十年代引入。分布推广了普通意义上的函数概念。对于普通意义上不可导甚至不连续的函数，可以具备分布意义上的导数。事实上，任意局部可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中，常常使用分布来表示方程的广义解函数，因为很多时候传统意义上的解函数不存在或难以求出。分布理论在物理学和工程学中都十分有用，因为在应用中常会出现解或初始条件是分布的微分方程，例如初始条件可能是一个狄拉克δ分布。

广义函数的概念最早由谢尔盖·索伯列夫在1935年提出。1940年代末，施瓦茨等人开始建立分布理论，首次提出了一个系统清晰的广义函数理论。

很多时候，函数是描述某个对象的性质的手段。传统的函数是将输入值和输出值建立对应关系的映射，是从本质上描述对象性质的方法。分布的概念则源自物理学的发展。二十世纪初发展起来的量子力学理论，特别是不确定性原理的发现，使物理学家抛弃了从本质上确定地表述对象的想法，而是将对象的性质视作它在一定的测量手段下的表现。我们能够获得“某个粒子的位置”的信息，是因为使用了某种测量的工具。对象的性质通过测量才得以表现。分布理论发展了这种概念，通过观察某个函数${\displaystyle f}$中开集U上的实值分布。在细微的调整之后，我们可以定义相应的复值分布，也可以将 R 替换为任何（仿紧）光滑流形。

首先需要定义U上的检验函数空间 D(U) （即所谓的“测试函数”），定义其上的拓扑和极限。D(U)上的所有连续线性泛函构成的空间就是分布空间。

函数${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$可积函数。在以上定义的D(U)的拓扑中，每个局部可积的函数都对应着一个D(U)上的连续线性泛函，也就是D'(U)中的一个元素，记作${\displaystyle T_f}$。线性泛函${\displaystyle T_f}$作用在D(U)中任一个检验函数${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$上的取值是：

一般约定，在不至于引起混淆的时候，可以将${\displaystyle T_f}$和${\displaystyle f}$等同起来。比如说以上的取值等式也可以记作：

可以证明，两个局部可积函数${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$对应的分布相同，当且仅当它们几乎处处相等。与函数的分布类似，U上的每个Radon测度${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$都有一个对应的分布${\displaystyle T_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$，定义为：

与函数的对应分布一样，测度对应的分布在不至于混淆的时候也可以和测度等同起来，比如将上式写成${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$。

可以注意到，检验函数也是局部可积的，所以也有对应的分布。这些分布在D'(U)上是稠密的（对于以上定义的拓扑来说）。也就是说，任意一个分布${\displaystyle S\in <!--\; \in \; -->D\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}(\mathbf{U})}$都是某个检验函数（分布）序列${\displaystyle {\left({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k\right)}_{k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$收敛的极限。对任意的检验函数${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\in <!--\; \in \; -->D(\mathbf{U})}$，都有：