分布 (数学分析)

✍ dations ◷ 2025-07-09 15:10:22 #广义函数,泛函分析,光滑函数,数学分析

数学分析中的分布是广义函数的一种,由法国数学家洛朗·施瓦茨首先于二十世纪五十年代引入。分布推广了普通意义上的函数概念。对于普通意义上不可导甚至不连续的函数,可以具备分布意义上的导数。事实上,任意局部可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中,常常使用分布来表示方程的广义解函数,因为很多时候传统意义上的解函数不存在或难以求出。分布理论在物理学和工程学中都十分有用,因为在应用中常会出现解或初始条件是分布的微分方程,例如初始条件可能是一个狄拉克δ分布。

广义函数的概念最早由谢尔盖·索伯列夫在1935年提出。1940年代末,施瓦茨等人开始建立分布理论,首次提出了一个系统清晰的广义函数理论。

很多时候,函数是描述某个对象的性质的手段。传统的函数是将输入值和输出值建立对应关系的映射,是从本质上描述对象性质的方法。分布的概念则源自物理学的发展。二十世纪初发展起来的量子力学理论,特别是不确定性原理的发现,使物理学家抛弃了从本质上确定地表述对象的想法,而是将对象的性质视作它在一定的测量手段下的表现。我们能够获得“某个粒子的位置”的信息,是因为使用了某种测量的工具。对象的性质通过测量才得以表现。分布理论发展了这种概念,通过观察某个函数 f {\displaystyle f} 中开集U上的实值分布。在细微的调整之后,我们可以定义相应的复值分布,也可以将 R 替换为任何(仿紧)光滑流形。

首先需要定义U上的检验函数空间 D(U) (即所谓的“测试函数”),定义其上的拓扑和极限。D(U)上的所有连续线性泛函构成的空间就是分布空间。

函数 φ {\displaystyle \varphi } 可积函数。在以上定义的D(U)的拓扑中,每个局部可积的函数都对应着一个D(U)上的连续线性泛函,也就是D'(U)中的一个元素,记作 T f {\displaystyle T_{f}} 。线性泛函 T f {\displaystyle T_{f}} 作用在D(U)中任一个检验函数 φ {\displaystyle \varphi } 上的取值是:

一般约定,在不至于引起混淆的时候,可以将 T f {\displaystyle T_{f}} f {\displaystyle f} 等同起来。比如说以上的取值等式也可以记作:

可以证明,两个局部可积函数 f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} 对应的分布相同,当且仅当它们几乎处处相等。与函数的分布类似,U上的每个Radon测度 μ {\displaystyle \mu } 都有一个对应的分布 T μ {\displaystyle T_{\mu }} ,定义为:

与函数的对应分布一样,测度对应的分布在不至于混淆的时候也可以和测度等同起来,比如将上式写成 μ , φ {\displaystyle \scriptstyle {\langle \mu ,\varphi \rangle }}

可以注意到,检验函数也是局部可积的,所以也有对应的分布。这些分布在D'(U)上是稠密的(对于以上定义的拓扑来说)。也就是说,任意一个分布 S D ( U ) {\displaystyle S\in D\prime (\mathbf {U} )} 都是某个检验函数(分布)序列 ( φ k ) k N {\displaystyle \left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }} 收敛的极限。对任意的检验函数 ϕ D ( U ) {\displaystyle \phi \in D(\mathbf {U} )} ,都有:

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