九章算术

《九章算术》九卷，是现存最早的中国古代数学著作之一，《算经十书》中最重要的一种。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的。在四库全书中为子部天文算法算书类。《九章算术》内容丰富，题材广泛，共九章，分为二百四十六题二百零二术，不但是汉代重要的数学著作。在中国和世界数学史上占有重要的地位。作为中国古代数学的系统总结，对中国传统数学的发展有了深远的影响。根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在西汉后期已经基本定型。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。1984年，在湖北出土了《算数书》书简。据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。由于《九章算术》中只是列出了例子及一般的算法，却很少有任何解释和说明，所以有很多人曾为《九章算术》作注，提出了简括的证明，证明了些算法的正确性。较为著名的有在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》作注，加上自己心得体会，使其便于了解，可以流传下来。唐代李淳风又重新做注（656年），作为《算经十书》之一，作为国子监算学馆的教材和明算科的考试项目。《九章算术》共收有246个数学问题，分为九大类，在一个或几个问题之后，列出这个问题的解法。《九章算术》对自然数即正整数及其运算没有给予论述，但却加以广泛应用，以自然数的基础上编写。虽然不是论述分数的专书，但是对于分数的意义、性质、四则运算论述完备。例如：合分术（加法）、减分术（减法）、乘分术（乘法）、经分术（除法）、课分术（比较大小）、约分术（简化分数）与平分术（平均数）。《九章算术》出现负数概念，方程章为了配合方程术的算法，给出正负数的加、减法则。减法为“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”。加法为“异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。其中“除”是减，“益”是加，“无入”是指没有对方，不过乘除法并未记载。《九章算术》对自然数、分数、正负数以及一些特殊无理无给予一定的论述，基本上具备实数系统的雏形。粟米章所述今有术，即是四项比例算法，按术文“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”。今有术在《九章算术》应用非常广泛，为一种解题的基本算法。另一种常用的算法是衰分章的衰分术，为配分比例算法。其术文为：“各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一”。《九章算术》以列衰的倒数为列衰，称为反衰术。反衰术就是衰分术与反比例相结合的算分。而衰分术与反衰术相结合的算法，就是均输章的均输术。《九章算术》不但有正比例算法、而且还有反比例算法、复比例算法、连比例算法以及配分比例算法。这些算法都是以今有术为基础，发展而汇集起来的各种算法。盈不足术是中国古代一种解算术难题的算法。一般算术应用题，都有确切答案。盈不足术为了推算答案，预先设立一个数字作为答案，依题目核算，若结果合问题，所设之数就是答案；若不合问，非盈即不足；通过两次假设，即可利用盈不足术求出答案。这类问题共有五种，即一盈一不足，两盈、两不足、一盈一适足、一不足一适足。《九章算术》则汇集这五种问题，并给出算法。盈不足章除了拥有算术应用问题外，还包括一些初等超越方程问题，用这种模式算法解出前一类问题得到确切解，用以解后一类问题则得近似解。《九章算术》论述的几何图形，多为直线型和圆型的图形，根据算田亩的需要，《九章算术》论述方田、圭田、邪田、箕田、圆田、弧田、环田及宛圆的面积算法。另外由于土木建筑的需要，《九章算术》还有论述直线型立体和圆型立体图形的体积算法，这些体积算法的编排，由简单到复杂，形成独特的理论体系。勾股计算，《九章算术》分为四类问题。有勾股互求、勾股整数、勾股两容、勾股相似。勾股互求，即是已知勾股的一般线段，推求其他线段。勾股整数，即是《九章算术》给出推求勾、股、弦，都是整数的算法。勾股两容，为推求勾股形内接正方形及内切圆的算法。勾股相似，为利用相似勾股形性质，进行简单测远、测高的算法。《九章算术》对几何问题的处理，分为三部分，有体积算法、面积算法、线段算法，分别隶属于商功、方田、勾股三章。《九章算术》列出的平方术、开立方术以及线性方程组的解法，可以看作中国古代代数学的主要内容。《九章算术》记载的这些算法非常详尽，经由这些论述，可以了解中国古代代数学发展的成果。开平方术、开立方术，不但可以解出二项二次方程、二项三次方程，而且可以解出一般的二次数值方程和三次数值方程。它是中国古代解出高次数值方程的基础，在数学的发展也有重要地位。方程章所论“方程”，地位相当于今天线性方程组。所论“方程术”，为所谓“直除法”。“直除”是连续相减的意思或累减的意思，“直除法”为连续相减消元法，在理论上、算法上与今天加减消元完全一样。在方程章所列十八题中，有的相当于二元一次方程组，有的相当于三元一次方程组，也有的相当于五元一次方程组。其中第十三题为：“今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深，绠长各几何”。所问是六个未知数之值，依题意只能列出五个一次方程，可见这是世界上最早的一次不定方程组。《九章算术》总结了自先秦以来的中国古代数学，它既包含了以前已经解决了的数学问题，又有汉朝时新发现的数学成就。一般认为，它在数学史上，标志着中国古代数学体系的形成，是中国古代数学体系的初期代表作。《九章算术》问世之前的中国先秦典籍中，记录了不少数学知识，但是却没有《九章算术》的系统论述，尤其是由易到难、由浅入深、从简单到复杂的编排体例，从而形成中国传统数学的理论体系。因而后世的中国数学家，都是从此开始学习和研究，唐、宋时，为国家明令规定的教科书，北宋时由政府刊刻，又是世界上最早的印刷本数学书。《九章算术》中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如，关于比例算法的问题，它和后来在16世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题，在阿拉伯曾称为契丹算法，13世纪以后的欧洲数学著作中也有如此称呼的，这也是中国古代数学知识向西方传播的一个证据。《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，这种影响一直持续到了清朝中叶。《九章算术》的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再给出解法，不同于西方以演绎为主的叙述方式，中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。历代数学家有不少人曾经注释过这本书，其中以刘徽和李淳风的注释最有名。《九章算术》隋、唐时，流传到了日本和朝鲜，对其古代的数学发展也产生了很大的影响，之后更远传到印度、阿拉伯和欧洲，现已译成日、俄、英、法和德等多种文字版本。