逻辑异或

在数字逻辑中，逻辑算符异或门（exclusive or）是对两个运算元的一种逻辑分析类型。与一般的逻辑或不同，当两两数值相同为否，而数值不同时为真。

对于命题 ${\displaystyle p,q}$个运算元的异或运算：个运算元的维异或的值为真当且仅当其中值为真的运算元有奇数个。

异或也可以被表示为：

异或还可以看作是逻辑等价关系的非运算。

交换律：${\displaystyle p\oplus <!--\; \oplus \; -->q=q\oplus <!--\; \oplus \; -->p}$

结合律：${\displaystyle p\oplus <!--\; \oplus \; -->(q\oplus <!--\; \oplus \; -->r)=(p\oplus <!--\; \oplus \; -->q)\oplus <!--\; \oplus \; -->r}$

恒等律：${\displaystyle p\oplus <!--\; \oplus \; -->0=p}$

归零律：${\displaystyle p\oplus <!--\; \oplus \; -->p=0}$

自反：${\displaystyle p\oplus <!--\; \oplus \; -->q\oplus <!--\; \oplus \; -->q=p\oplus <!--\; \oplus \; -->0=p}$

尽管算子${\displaystyle \wedge <!--\; \wedge \; -->}$（逻辑合取）与${\displaystyle \vee <!--\; \vee \; -->}$（逻辑析取）是逻辑系统中最为常见的算子，但结构上，系统${\displaystyle (\{T,F\},\wedge <!--\; \wedge \; -->)}$ and ${\displaystyle (\{T,F\},\vee <!--\; \vee \; -->)}$只是幺半群。因此，这两个系统无法合成为一个更大的结构，比如环或半环。

但是，带有逻辑异或的系统${\displaystyle (\{T,F\},\oplus <!--\; \oplus \; -->)}$是一个交换群。因此，算子${\displaystyle \wedge <!--\; \wedge \; -->}$与${\displaystyle \oplus <!--\; \oplus \; -->}$的结合在集合${\displaystyle \{T,F\}}$上作用就产生了最基本的二元域${\displaystyle F_2}$。这个域可以得出所有运用${\displaystyle (\wedge <!--\; \wedge \; -->,\vee <!--\; \vee \; -->)}$可以得到的结果，并且由于附带了域的结构，可以进行代数上的进一步分析。