量子谐振子

在量子力学里，量子谐振子（英语：quantum harmonic oscillator）是经典谐振子的延伸。其为量子力学中数个重要的模型系统中的一者，因为一任意势在稳定平衡点附近可以用谐振子势来近似。此外，其也是少数几个存在简单解析解的量子系统。量子谐振子可用来近似描述分子振动。

在一维谐振子问题中，一个质量为的粒子，受到一位势${\displaystyle V(x)=\frac{1}{2}m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{x}^2}$为位置算符，而为动量算符${\displaystyle \left(p=-<!--\; -\; -->i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{d}{dx}\right)}$ = 0到5）如右图。函数${\displaystyle H_n}$。相应的能级为

值得注意的是能谱，理由有三。首先，能量被“量子化”（quantized），而只能有离散的值——即${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ = 0）不为零，而是${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}/2}$与其伴随算符（adjoint）†：

算符并非厄米算符（Hermitian），以其与伴随算符†并不相同。

算符与†有如下性质：

在推导†形式的过程中，已用到算符与（代表可观测量）为厄米算符这样的事实。这些可观测量算符可以被表示为阶梯算符的线性组合：

与算符遵守下面的等式，称之为正则对易关系：

方程中的方括号是常用的标记机器，称为交换子、交换算符或对易算符，其定义为

利用上面关系，可以证明如下等式：

现在，让${\displaystyle |{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_E⟩}$的能量本征态。任何右括矢量（ket）与自身的内积必须是非负值，因此

将†以哈密顿算符表示：

因此${\displaystyle E\ge <!--\; \ge \; -->\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}/2}$ = 0）。

利用上面等式，可以指出及†与的对易关系：

因此要是（${\displaystyle a|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_E⟩}$作用在能量为的本征态，而产生出——还多了一个常数乘积——另一个能量为 ${\displaystyle E-<!--\; -\; -->\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$†作用在能量为的本征态，产生出另一个能量为${\displaystyle E+\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$称作降算符而†称作升算符。两者合称阶梯算符。在量子场论中，与†也分别称作消灭算符与创生算符，以其分别摧毁与创造粒子——对应于能量量子。

给定任何能量本征态，可以拿降算符作用在其上，产生了另一个能量少了${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ = −∞。不过这样就就与早先的要求${\displaystyle E\ge <!--\; \ge \; -->\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}/2}$来指定的。在${\displaystyle N}$₁, ..., 。这些算符之间的正则对易关系为

系统的哈密顿算符为

从这个哈密顿量的形式，可以发觉，${\displaystyle N}$维谐振子明确地可比拟为${\displaystyle N}$个质量相同，弹性常数相同，独立的一维谐振子。在这案例里，变数${\displaystyle x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_N}$是${\displaystyle N}$个粒子的位置坐标。这是反平方连心位势的一个优良的特性，允许位势被分离为${\displaystyle N}$个项目，每一个项目只跟一个位置坐标有关。

这观察使得问题的解答变的相当简单。对于一个集合的量子数${\displaystyle \{n\}}$，一个${\displaystyle N}$维谐振子的能量本征函数${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->\mathbf{x}|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{\{n\}}⟩<!--\; ⟩\; -->}$等于${\displaystyle N}$个一维本征函数${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->x_i|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{n_i}⟩<!--\; ⟩\; -->}$的乘积：

采用阶梯算符方法，定义${\displaystyle N}$组阶梯算符，

类似前面所述的一维谐振子案例，可以证明每一个${\displaystyle a_i}$与${\displaystyle a_i^{†<!--\; †\; -->}}$算符将能量分别降低或升高${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$。哈密顿量是

这量子系统的能级${\displaystyle E}$是

其中，正整数${\displaystyle n_i}$是${\displaystyle |{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{n_i}⟩<!--\; ⟩\; -->}$的量子数。

如同一维案例，能量是量子化的。${\displaystyle N}$维基态能级是一维基态能级的${\displaystyle N}$倍。只有一点不同，在一维案例里，每一个能级对应于一个单独的量子态。在${\displaystyle N}$维案例里，除了底态能级以外，每一个能级都是简并的，都对应于多个量子态。

简并度可以很容易地计算出来。例如，思考三维案例，设定${\displaystyle n=n_1+n_2+n_3}$。每一个${\displaystyle n}$相同的量子态，都会拥有相同的能量。给予${\displaystyle n}$，首先选择一个${\displaystyle n_1}$。那么，${\displaystyle n_2+n_3=n-<!--\; -\; -->n_1}$，有${\displaystyle n-<!--\; -\; -->n_1+1}$个值，从${\displaystyle 0}$到${\displaystyle n-<!--\; -\; -->n_1}$，可以选择为${\displaystyle n_2}$的值。${\displaystyle n_3}$的值自动的设定为${\displaystyle n-<!--\; -\; -->n_1-<!--\; -\; -->n_2}$。因此，简并度是

对于${\displaystyle N}$维案例，

球对称的三维均向谐振子可以用分离变数法来求解。这方法类似于氢原子问题里的方法，只有球对称位势不一样：

其中，${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$是这问题的质量。由于${\displaystyle m}$会被用来标记磁量子数，所以，用${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$来标记质量。

这问题的薛定谔方程为

薛定谔方程的全部解答写为

其中，

能量本征值是

能量通常可以用一个量子数${\displaystyle n}$来描述：

由于${\displaystyle k}$是个正整数，假若${\displaystyle n}$是偶数，那么，角量子数也是偶数：

假若${\displaystyle n}$是奇数，那么，角量子数也是奇数：

磁量子数${\displaystyle m}$满足不等式

对于每一个${\displaystyle n}$与${\displaystyle l}$，存在${\displaystyle 2l+1}$个不同的量子态。每一个量子态都有不同的磁量子数${\displaystyle m}$。因此，${\displaystyle n}$的兼并度是

其中，总和的指数${\displaystyle l}$的初始值是${\displaystyle i=nmod2}$。

这结果与先前的方程相同。

设想${\displaystyle N}$个相同质量的质点，以弹簧连结为一条一维的线形链条。标记每一个质点的离开其平衡点的位置为${\displaystyle x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_N}$（也就是说，假若一个质点${\displaystyle k}$位于其平衡点，则${\displaystyle x_k=0}$）。整个系统的哈密顿量是

其中，${\displaystyle x_0=0}$。

这个问题可以用坐标变换来变换成一组独立的谐振子，每一个独立的谐振子对应于一个独特的晶格集体波震动。这些波震动表现出类似粒子般的性质，称为声子。许多固体的离子晶格都会产生声子。在固体物理学里，这方面的理论对于许多现象的研究与了解是非常重要的。