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邻接矩阵法
✍ dations ◷ 2025-07-25 22:54:29 #邻接矩阵法
在图论中,邻接矩阵(英语:adjacency matrix)是表示一种图结构的常用表示方法。它用数字方阵记录各点之间是否有边相连,数字的大小可以表示边的权值大小。距离矩阵可算是邻接矩阵的扩充。阶为
n
{displaystyle n}
的图
G
{displaystyle G}
的邻接矩阵
A
{displaystyle A}
是
n
×
n
{displaystyle ntimes n}
的。将
G
{displaystyle G}
的顶点标签为
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
n
{displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{n}}
。若
(
v
i
,
v
j
)
∈
E
(
G
)
{displaystyle (v_{i},v_{j})in E(G)}
,
A
i
j
=
1
{displaystyle A_{ij}=1}
,否则
A
i
j
=
0
{displaystyle A_{ij}=0}
。也可以用大于0的值表示边的权值,例如可以用边权值表示一个点到另一个点的距离。无向图的邻接矩阵是对称矩阵。可以用矩阵表示为:这个矩阵中每一行代表一个点,行a即为点a,每一列代表某一行的点所指向的点,矩阵的每一个(小格)表示一条边。图中的所有边(指向性的箭头)带有权值,通常约定权值为0的边为不存在的边。如此图中的a指向b,箭头旁边的数字(边的权值)为2,在矩阵中表示为行a列b为2。又如矩阵中行c列b为6,图中表现为一条从c指向b权值为6的边。设图
G
{displaystyle G}
的邻接矩阵为
A
{displaystyle A}
,边的取值为1。A、B、C、D四人传球6次,从A开始,最终回到A手里,有多少种传法?非矩阵解法:矩阵解法:A
=
(
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
)
,
A
6
=
(
183
182
182
182
182
183
182
182
182
182
183
182
182
182
182
183
)
{displaystyle A={begin{pmatrix}0&1&1&1\1&0&1&1\1&1&0&1\1&1&1&0\end{pmatrix}},A^{6}={begin{pmatrix}183&182&182&182\182&183&182&182\182&182&183&182\182&182&182&183\end{pmatrix}}}邻接矩阵法是比较简单的图论问题建模方法,它以方形二维阵列的形式存储图的数据。它在算法应用中的主要特点包括:主要缺点包括:在随机过程理论中,表示单步状态变化的转移矩阵就是一种邻接矩阵。
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