数列

数列（英语：number sequence）是由数字组成的序列，也即是全序排列的多个数。数列及其相关术语常用于有关递推规律的研究。数列也是级数理论的基本概念。数列是一列两个以上按顺序排列的数，所组成的序列，记为 .mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}⟨ak⟩ 、 {ak}  或 (ak)：其中 n ∈ Z+ ， Z+ 是正整数集。虽然 {ak}  的记号很常见，但这与无序的集合符号相同，容易引起混淆，因此这里使用记号 ⟨ak⟩ 。数列中的每一个数称为这个数列的“项”。a1 为数列的“第一项”、a2 为“第二项”、 an 则为“第 n 项”。项的总个数为数列的“项数”。数列中的第一项常称为“首项”，最后一项则称为“末项”。注意，有些数列会设为 ⟨ a k ⟩ k = 0 n {displaystyle leftlangle a_{k}rightrangle _{k=0}^{n}} ，其中 n ∈ N ， N 是自然数集。换句话说，数列以第零项 a0 作为首项。一些有无穷个项的数列，比如全体正整数数列 ⟨ 1, 2, 3, 4, 5, ... ⟩ ，只有首项，没有末项。按照伯特兰·罗素在《西方哲学史》书中的说法，人们也可以定义没有首项的无穷数列：把正整数数列倒过来排列即可。但是这种没有首项的数列，在数学上没有大的用处。数列是特殊的序列，全部由数字组成。序列则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列矢量、一系列矩阵或一系列张量组成，等等。但有的微积分教材用序列一词来称呼数列，读者需要自己留意。数列可被视作函数 f : Z+ → Y，其中 Y 是包含数列中各个项的到达域。从这个角度看，数列能视作一种特殊的函数，称为“整标函数”。数列中各个项的和称为“级数”。但级数的概念的推广至数列以外的序列，比如函数序列的函数项级（英语：function series）。对于含有无穷多项的数列 ⟨ak⟩ ，我们可以为其定义“数列的极限”为常数 L：通常对第1项到第 n {displaystyle n} 项求和，记为 S n = ∑ k = 1 n a k {displaystyle S_{n}=sum _{k=1}^{n}a_{k}} 。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数 n {displaystyle n} 的平方。例如：1+3=22,1+3+5=32。通常，我们从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是递推关系式可能会有点复杂，难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以我们希望寻找方法，以求化简数列的递推关系式，从而得到简单明了的一般项公式。一般项公式也叫通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。遗憾的是，没有一种方法是万能的，所以通项公式的求解仍然是一个具有一定技巧性的工作。完全求不出通项公式、只能进行估算的情形也是经常出现的。求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用数学归纳法证明公式正确。数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，此法则无法使用。给定数列差 d n {displaystyle d_{n}} 时逐差全加，例如：给定数列比 r n {displaystyle r_{n}} 时逐差全乘，例如：如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由 S n = ∑ k = 1 n a n {displaystyle S_{n}=sum _{k=1}^{n}a_{n}} 可知 S n − S n − 1 = a n {displaystyle S_{n}-S_{n-1}=a_{n}}把 S n {displaystyle S_{n}} 看成一个数列，可以先对 S n {displaystyle S_{n}} 进行求解，然后得出 a n {displaystyle a_{n}} 。换元法用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法，还有用得很少的双曲函数换元法。对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。已知 A a n + 1 + B a n + C = 0 {displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0} ，其中 A {displaystyle A} 、 B {displaystyle B} 、 C {displaystyle C} 都是常数，求 a n {displaystyle a_{n}} 。 求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。A ( a n + 1 + k ) = − B ( a n + k ) {displaystyle A(a_{n+1}+k)=-B(a_{n}+k)} 。 求出 k {displaystyle k} ，那么数列 a n + k {displaystyle {a_{n}+k}} 就是一个等比数列，从而求出通项公式。A a n + 1 + B a n + C = 0 {displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0} A a n + B a n − 1 + C = 0 {displaystyle Aa_{n}+Ba_{n-1}+C=0} 两边相减就有： A ( a n + 1 − a n ) + B ( a n − a n − 1 ) = 0 {displaystyle A(a_{n+1}-a_{n})+B(a_{n}-a_{n-1})=0} ，如此就化成了一个等比数列。已知 A a n + 1 + B a n + C a n − 1 + D = 0 {displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+Ca_{n-1}+D=0} ,其中 A {displaystyle A} 、 B {displaystyle B} 、 C {displaystyle C} 、 D {displaystyle D} 都为常数，求 a n {displaystyle a_{n}} ； 与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式： A a n + 1 + E a n = k ( A a n + E a n − 1 ) − D {displaystyle Aa_{n+1}+Ea_{n}=k(Aa_{n}+Ea_{n-1})-D} 求出对应系数，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列 A a n + E a n − 1 {displaystyle {Aa_{n}+Ea_{n-1}}} 的通项公式，然后求出 a n {displaystyle a_{n}} 的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。