复平面

数学中，复平面（英语：Complex plane）是用水平的实轴与垂直的虚轴建立起来的复数的几何表示。它可视为一个具有特定代数结构笛卡儿平面（实平面），一个复数的实部用沿着 x-轴的位移表示，虚部用沿着 y-轴的位移表示。

复平面有时也叫做阿尔冈平面，因为它用于阿尔冈图中。这是以让-罗贝尔·阿尔冈（1768-1822）命名的，尽管它们最先是挪威-丹麦土地测量员和数学家卡斯帕尔·韦塞尔（1745-1818）叙述的。阿尔冈图经常用来标示复平面上函数的极点与零点的位置。

复平面的想法提供了一个复数的几何解释。在加法下，它们像向量一样相加；两个复数的乘法在极坐标下的表示最简单——乘积的长度或模长是两个绝对值或模长的乘积，乘积的角度或辐角是两个角度或辐角的和。特别地，用一个模长为 1 的复数相乘即为一个旋转。

在复分析中复数通常用符号${\displaystyle z}$-平面上，并称${\displaystyle f(z)}$-平面中的一个点集。用符号记成

并经常将函数${\displaystyle f}$-平面（带有坐标${\displaystyle (x,y)}$-平面（带有坐标${\displaystyle (u,v)}$-平面副本，每一个沿着实轴剪开。在一个副本上我们定义 1 的平方根为${\displaystyle e^0=1}$-平面，-平面，-平面（除去点${\displaystyle w=0}$-片面的像只绕一周。

形式微分说明

由此我们可说${\displaystyle f}$-平面副本开始，但这一次每个沿着实轴从${\displaystyle z=-<!--\; -\; -->1}$-平面。则这个平面上出现一个铅直洞，在此处两个切割连接起来。如果当切割是从 ${\displaystyle z=-<!--\; -\; -->1}$沿负实轴到无穷，然后沿正实轴到${\displaystyle z=1}$，又是如何呢？同样可以构造一个黎曼曲面，但这一次“洞”是水平的。 从拓扑上说，这两个黎曼曲面是等价的，它们都是亏格为 1 的可定向二维曲面。

本文中上面几节将“复平面”处理为复数的几何类比。尽管术语“复平面”这种用法具有长期与数学悠久的历史，但并不意味着是惟一的称之为“复平面”的数学概念。至少有三种其它可能。