友谊数

✍ dations ◷ 2025-02-26 14:28:02 #数学中未解决的问题,除数函数,整数数列,数论

在数论中，友谊数是指二个正整数m和n满足σ()/m = σ()/的关系，其中σ(n)是因数函数，则称它们是朋友，此二个整数互为友谊数。

例如(1+2+4+5+8+10+16+20+40+80)/80 = (1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+200)/200 = 93/40，因此80和200都是友谊数。

友谊数为传递关系，若m和n为友谊数，n和p为友谊数，则m和p必为友谊数。

所有的已知的友谊数有6, 12, 24, 28, 30, ...（OEIS:A074902，按σ()/相同的组对排列：OEIS:A050973,OEIS:A050973）

确定不是友谊数的数即为孤独数。但有些数尚未能证明它是否为孤独数，例如10。

若三个或三个以上的正整数，其因数函数除以自身的比值相等，则这些正整数形成友谊数群（Friendly number club），目前还不知道是否有由无限多个正整数组成的友谊数群。完全数的因数函数为自身的2倍，因此所有完全数形成一个友谊数群，推测应该会有无限多个完全数（至少会和梅森质数的个数一样多），但尚未被证明。

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