对偶空间

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在数学里，任何向量空间都有其对应的对偶向量空间（或简称为对偶空间），由的线性泛函组成。此对偶空间俱有一般向量空间的结构，像是向量加法及标量乘法。由此定义的对偶空间也可称之为代数对偶空间。在拓扑向量空间的情况下，由连续的线性泛函组成的对偶空间则称之为连续对偶空间。

对偶空间是 行向量（${\displaystyle 1\times <!--\; \times \; -->n}$到的所有线性函数的集合。即是的标量线性变换。${\displaystyle V^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$中的${\displaystyle a}$中的${\displaystyle x}$的元素被称为反变或逆变（contravariant）向量而_*的元素被称为共变或协变（covariant）向量、“余向量”或“同向量”（co-vectors），“线性型”或“一形”（one-form）。

如果是有限维的，${\displaystyle V^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$的基，${\displaystyle V^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$是平面几何向量的空间，${\displaystyle V^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$是无限维度，${\displaystyle e^i}$的大。

例如空间${\displaystyle R^{(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}}$${\displaystyle {}^{t}f:W^{\ast <!--\; \ast \; -->}\to <!--\; \to \; -->V^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$表示作其对${\displaystyle V,W}$及都是向量空间范畴的逆变函子。

正如所见，如果${\displaystyle V}$之连续对偶记作′。此脉络下可迳称连续对偶为。

线性赋范向量空间（如一巴拿赫空间或一希尔伯特空间）之连续对偶产生一线性赋范向量空间。对一上之连续线性泛函，其范数${\displaystyle \Vert \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\Vert }$ ，使其范数

有限。以${\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$中收敛至零者）之连续对偶皆自然同构于${\displaystyle I^1}$为希尔伯特空间，则其连续对偶亦然，并反同构于；此盖黎兹表示定理所明，物理学人赖以描述量子力学之狄拉克符号肇端乎是。

类似双重代数对偶，对连续线性算子亦有连续单射${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}:V\to <!--\; \to \; -->V^{″}}$中${\displaystyle x}$以一新拓扑，名弱拓扑。

若之对偶可分，则亦可分。反之则不然；试取空间${\displaystyle I_1}$，其对偶${\displaystyle I\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$不可分。