朗道量子化

朗道量子化是指均匀磁场中带电粒子的回旋轨道发生的量子化。这些带电粒子能量在一系列分立的数值中取值，形成朗道能级。朗道能级是简并的，每一能级上电子的电子数量与外加磁场的强度成正比:267。由朗道量子化可以得出外磁场会导致材料中电子性质的振荡。这一理论是由苏联物理学家列夫·朗道于1930年提出的。

朗道量子化可以通过准经典的方法部分导出:255-258。这里采用量子力学的方法进行推导：

考虑一个带电粒子组成的二维系统。这些粒子无内部相互作用，所带电荷为q，自旋量子数为S，并被限制在平面内一个面积 = 的区域内。

对这一系统施加一个沿z轴的均匀磁场${\displaystyle \mathbf{B}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ B\end{array}\right)}$为位置算符x方向上的分量。

在这一规范下，系统的哈密顿算符为：

算符${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_y}$替代。

如果设定回旋频率，那么可以得出此时哈密顿算符为：

这与量子谐振子的哈密顿算符基本一致，但势能的最小值需要在位置表象中移动₀ = 。

注意到谐振子势能的平移并不会影响到系统的能量，也就是说这一系统的能量与标准的量子谐振子一致：

由于能量与量子数无关，因而会存在一定的简并态。

由于${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_y}$这两个量子数表征。

朗道量子化所造成的效应只能在平均内能小于能级间差值，即时才能被观测到。简单来说就是温度较低，外磁场较强。

每个朗道能级都具有一定的简并度，因为量子数的取值情况为：

式中N为整数。N所允许的取值受到振子的运动中心坐标的影响。振子的运动必须在系统范围内，也就是说0 ≤ 。这给出了N的取值范围：

对于带电量 = 的粒子来说，N的上限可以表记为磁通量的比值：

式中为磁通量的基本量子，是系统的磁通量，面积 = 。

因而对于自旋为S的粒子，每个朗道能级的简并度的最大值D为：

上述讨论只是在有限尺度内给出的粗略的结果，严格来说，谐振子解只对在x方向上不受限的系统有效，如果系统尺度是有限的，那个方向上的束缚态条件会导致磁场中的非标准量子化情况。原则上，两个都是埃尔米特方程的解。多电子对于朗道能级的填充仍是研究热点之一。

一般来说，朗道能级可以在电子系统中被观察到，其中Z=1，S=1/2。随着磁场增强，越来越多的电子会占据朗道能级。最高的朗道能级的占据情况会导致多种电子性质振荡，如德哈斯-范阿尔芬效应及舒布尼科夫-德哈斯效应。

如果考虑到塞曼效应的话，那么每个朗道能级都会分裂为一对能级：一个为自旋向上的电子占据的能级，一个是自旋向下的电子占据的能级。此时每个自旋朗道能级的简并度就会是磁通量的比率：D = 。两个能级与分裂前的能级间隔是相同的： 2 = 。然而在多个能级被占满时，系统的费米能与基态的能量却是大致相同的，因为塞曼效应造成的影响，在这些能级相加时会被抵消掉。

在上面的推导过程中，x与y似乎并不对称。然而，考虑到系统的对称性，并没有物理量能表征这两个坐标的区别。在对x与y进行适当的内部变换后，可以得到相同的结果。

此外，上述推导中电子在z方向上运动受限的情形尽管在实验中确实存在，如二维电子气。但这一假设并不基本。如果电子在z方向上可以自由移动，那么波函数还需要乘以一个因子exp()，能量对应地需要加上()2/()。这一项会“填入”能级间隙，从而减小量子化的效果。但在垂直于磁场的平面x-y上的运动仍是量子化的。

选定对称规范：

对于哈密顿算符进行去量纲化：

实际值可以通过引入${\displaystyle q}$及${\displaystyle m}$表征，每个朗道能级上单位面积的简并度是相同的。

可以证明选定下面这个波函数时，也可以得到上面得到的结果：

式中${\displaystyle w=x+iy}$。

特别地，对于最低的朗道能级，即${\displaystyle n=0}$时，波函数为任意一个解析函数与高斯函数的乘积：${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,y)=f(w)e^{-<!--\; -\; -->|w{|}^2/4}}$。

进行这样的规范变换：

运动学动量的定义为：

式中${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{p}}}$为正则动量。哈密顿算符是规范不变的，因而${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}⟩<!--\; ⟩\; -->}$与${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}⟩<!--\; ⟩\; -->}$也会在规范变换后保持不变，但${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{p}}⟩<!--\; ⟩\; -->}$会受到规范变换的影响。

为了考察规范变换带来的影响，设磁矢势为${\displaystyle A}$与${\displaystyle A^{\prime }}$时的量子态为${\displaystyle |\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$与${\displaystyle |{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }⟩<!--\; ⟩\; -->}$。

由于${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}⟩<!--\; ⟩\; -->}$和${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}⟩<!--\; ⟩\; -->}$是规范不变的，可以得到：

设算符${\displaystyle \mathcal{G}}$会使${\displaystyle |{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }⟩<!--\; ⟩\; -->=\mathcal{G}|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$，则：

综上所述：