朗道量子化

✍ dations ◷ 2025-07-09 12:19:38 #朗道量子化

朗道量子化是指均匀磁场中带电粒子的回旋轨道发生的量子化。这些带电粒子能量在一系列分立的数值中取值,形成朗道能级。朗道能级是简并的,每一能级上电子的电子数量与外加磁场的强度成正比:267。由朗道量子化可以得出外磁场会导致材料中电子性质的振荡。这一理论是由苏联物理学家列夫·朗道于1930年提出的。

朗道量子化可以通过准经典的方法部分导出:255-258。这里采用量子力学的方法进行推导:

考虑一个带电粒子组成的二维系统。这些粒子无内部相互作用,所带电荷为q,自旋量子数为S,并被限制在平面内一个面积 = 的区域内。

对这一系统施加一个沿z轴的均匀磁场 B = ( 0 0 B ) {displaystyle mathbf {B} ={begin{pmatrix}0\0\Bend{pmatrix}}} 为位置算符x方向上的分量。

在这一规范下,系统的哈密顿算符为:

算符 p ^ y {displaystyle {hat {p}}_{y}} 替代。

如果设定回旋频率,那么可以得出此时哈密顿算符为:

这与量子谐振子的哈密顿算符基本一致,但势能的最小值需要在位置表象中移动0 = 。

注意到谐振子势能的平移并不会影响到系统的能量,也就是说这一系统的能量与标准的量子谐振子一致:

由于能量与量子数无关,因而会存在一定的简并态。

由于 p ^ y {displaystyle {hat {p}}_{y}} 这两个量子数表征。

朗道量子化所造成的效应只能在平均内能小于能级间差值,即时才能被观测到。简单来说就是温度较低,外磁场较强。

每个朗道能级都具有一定的简并度,因为量子数的取值情况为:

式中N为整数。N所允许的取值受到振子的运动中心坐标的影响。振子的运动必须在系统范围内,也就是说0 ≤ 。这给出了N的取值范围:

对于带电量 = 的粒子来说,N的上限可以表记为磁通量的比值:

式中为磁通量的基本量子,是系统的磁通量,面积 = 。

因而对于自旋为S的粒子,每个朗道能级的简并度的最大值D为:

上述讨论只是在有限尺度内给出的粗略的结果,严格来说,谐振子解只对在x方向上不受限的系统有效,如果系统尺度是有限的,那个方向上的束缚态条件会导致磁场中的非标准量子化情况。原则上,两个都是埃尔米特方程的解。多电子对于朗道能级的填充仍是研究热点之一。

一般来说,朗道能级可以在电子系统中被观察到,其中Z=1,S=1/2。随着磁场增强,越来越多的电子会占据朗道能级。最高的朗道能级的占据情况会导致多种电子性质振荡,如德哈斯-范阿尔芬效应及舒布尼科夫-德哈斯效应。

如果考虑到塞曼效应的话,那么每个朗道能级都会分裂为一对能级:一个为自旋向上的电子占据的能级,一个是自旋向下的电子占据的能级。此时每个自旋朗道能级的简并度就会是磁通量的比率:D = 。两个能级与分裂前的能级间隔是相同的: 2 = 。然而在多个能级被占满时,系统的费米能与基态的能量却是大致相同的,因为塞曼效应造成的影响,在这些能级相加时会被抵消掉。

在上面的推导过程中,x与y似乎并不对称。然而,考虑到系统的对称性,并没有物理量能表征这两个坐标的区别。在对x与y进行适当的内部变换后,可以得到相同的结果。

此外,上述推导中电子在z方向上运动受限的情形尽管在实验中确实存在,如二维电子气。但这一假设并不基本。如果电子在z方向上可以自由移动,那么波函数还需要乘以一个因子exp(),能量对应地需要加上()2/()。这一项会“填入”能级间隙,从而减小量子化的效果。但在垂直于磁场的平面x-y上的运动仍是量子化的。

选定对称规范:

对于哈密顿算符进行去量纲化:

实际值可以通过引入 q {displaystyle q} m {displaystyle m} 表征,每个朗道能级上单位面积的简并度是相同的。

可以证明选定下面这个波函数时,也可以得到上面得到的结果:

式中 w = x + i y {displaystyle w=x+iy}

特别地,对于最低的朗道能级,即 n = 0 {displaystyle n=0} 时,波函数为任意一个解析函数与高斯函数的乘积: ψ ( x , y ) = f ( w ) e | w | 2 / 4 {displaystyle psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}}

进行这样的规范变换:

运动学动量的定义为:

式中 p ^ {displaystyle {hat {mathbf {p} }}} 为正则动量。哈密顿算符是规范不变的,因而 π ^ {displaystyle langle {hat {pi }}rangle } x ^ {displaystyle langle {hat {x}}rangle } 也会在规范变换后保持不变,但 p ^ {displaystyle langle {hat {mathbf {p} }}rangle } 会受到规范变换的影响。

为了考察规范变换带来的影响,设磁矢势为 A {displaystyle A} A {displaystyle A'} 时的量子态为 | α {displaystyle |alpha rangle } | α {displaystyle |alpha 'rangle }

由于 x ^ {displaystyle langle {hat {x}}rangle } π ^ {displaystyle langle {hat {pi }}rangle } 是规范不变的,可以得到:

设算符 G {displaystyle {mathcal {G}}} 会使 | α = G | α {displaystyle |alpha 'rangle ={mathcal {G}}|alpha rangle } ,则:

综上所述:

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