密切平面

✍ dations ◷ 2025-05-19 08:42:10 #微分几何

密切平面：过空间曲线上P点的切线和P点的邻近一点Q可作一平面 $\sigma$ $\sigma$ ，当Q点沿着曲线趋近于P时，平面 $\sigma$ $\sigma$ 的极限位置 $\pi$ $\pi$ 称为曲线在P点的密切平面。

$(R-r(t_{0}),r'(t_{0}),r''(t_{0}))=0$ $(R-r(t_{0}),r'(t_{0}),r''(t_{0}))=0$

其中 R ＝ {X,Y,Z}表示P点的密切平面上任意一点的向径。

上式也可用行列式表示为 ${\begin{vmatrix}X-x(t_{0})&Y-y(t_{0})&Z-z(t_{0})\\x'(t_{0})&y'(t_{0})&z'(t_{0})\\x''(t_{0})&y''(t_{0})&z''(t_{0})\end{vmatrix}}=0$ ${\begin{vmatrix}X-x(t_{0})&Y-y(t_{0})&Z-z(t_{0})\\x'(t_{0})&y'(t_{0})&z'(t_{0})\\x''(t_{0})&y''(t_{0})&z''(t_{0})\end{vmatrix}}=0$

$(R-r(s_{0}),{\dot {r}}(s_{0}),{\ddot {r}}(s_{0}))=0$ $(R-r(s_{0}),{\dot {r}}(s_{0}),{\ddot {r}}(s_{0}))=0$ 其中 $r=r(s)$ $r=r(s)$ .

上式也可用行列式表示为 ${\begin{vmatrix}X-x(s_{0})&Y-y(s_{0})&Z-z(s_{0})\\{\dot {x}}(s_{0})&{\dot {y}}(s_{0})&{\dot {z}}(s_{0})\\{\ddot {x}}(s_{0})&{\ddot {y}}(s_{0})&{\ddot {z}}(s_{0})\end{vmatrix}}=0$ ${\begin{vmatrix}X-x(s_{0})&Y-y(s_{0})&Z-z(s_{0})\\{\dot {x}}(s_{0})&{\dot {y}}(s_{0})&{\dot {z}}(s_{0})\\{\ddot {x}}(s_{0})&{\ddot {y}}(s_{0})&{\ddot {z}}(s_{0})\end{vmatrix}}=0$

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