密切平面

✍ dations ◷ 2025-04-26 16:55:10 #微分几何

密切平面:过空间曲线上P点的切线和P点的邻近一点Q可作一平面 σ {\displaystyle \sigma } ,当Q点沿着曲线趋近于P时,平面 σ {\displaystyle \sigma } 的极限位置 π {\displaystyle \pi } 称为曲线在P点的密切平面。

( R r ( t 0 ) , r ( t 0 ) , r ( t 0 ) ) = 0 {\displaystyle (R-r(t_{0}),r'(t_{0}),r''(t_{0}))=0}

其中 R = {X,Y,Z}表示P点的密切平面上任意一点的向径。

上式也可用行列式表示为 | X x ( t 0 ) Y y ( t 0 ) Z z ( t 0 ) x ( t 0 ) y ( t 0 ) z ( t 0 ) x ( t 0 ) y ( t 0 ) z ( t 0 ) | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}X-x(t_{0})&Y-y(t_{0})&Z-z(t_{0})\\x'(t_{0})&y'(t_{0})&z'(t_{0})\\x''(t_{0})&y''(t_{0})&z''(t_{0})\end{vmatrix}}=0}

( R r ( s 0 ) , r ˙ ( s 0 ) , r ¨ ( s 0 ) ) = 0 {\displaystyle (R-r(s_{0}),{\dot {r}}(s_{0}),{\ddot {r}}(s_{0}))=0} 其中 r = r ( s ) {\displaystyle r=r(s)} .

上式也可用行列式表示为 | X x ( s 0 ) Y y ( s 0 ) Z z ( s 0 ) x ˙ ( s 0 ) y ˙ ( s 0 ) z ˙ ( s 0 ) x ¨ ( s 0 ) y ¨ ( s 0 ) z ¨ ( s 0 ) | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}X-x(s_{0})&Y-y(s_{0})&Z-z(s_{0})\\{\dot {x}}(s_{0})&{\dot {y}}(s_{0})&{\dot {z}}(s_{0})\\{\ddot {x}}(s_{0})&{\ddot {y}}(s_{0})&{\ddot {z}}(s_{0})\end{vmatrix}}=0}

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