克里斯托费尔符号

克氏符号，全称克里斯托费尔符号（Christoffel symbols），在数学和物理中，是从度量张量导出的列维-奇维塔联络（Levi-Civita connection）的坐标表达式。因埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔（1829年-1900年）命名。克氏符号在每当进行涉及到几何的实用演算时都会被用到，因为他们使得非常复杂的演算不被搞混。不幸的是，它们写起来较繁琐，并要求对细节的仔细关注。相反，无下标的形式化的列维-奇维塔联络的概念是相当漂亮，并允许定理用典雅的方式表达，但是在实用演算中没有什么用处。

下面的定义对于黎曼流形和广义相对论用到的伪黎曼流形都是适用的，逆变导数（contravariant，用上标表示）和协变导数（covariant，用下标表示）的指标作了严格的区分。公式对两种符号常规都成立，除特别指出的外。

克氏符号可以从度量张量${\displaystyle g_{ik}}$_k是向量的基而${\displaystyle }$和为向量场，其分量为${\displaystyle X^i}$相对于的共变导数的第个分量为

有些老的物理书有时把写成,并把它放在方程的后面而不是前面。这里，采用了爱因斯坦记号，所以重复出现的指标表示求和，和度量张量的缩并（contraction）用来升降指标：

注意${\displaystyle g_{ik}\ne <!--\; \ne \; -->g^{ik}}$|是度量张量${\displaystyle g_{ik}}$坐标系中的克氏符号。注意克氏符号不像张量那样变换，而是像jet丛中的对象那样。