WKB近似

在量子力学里，WKB近似是一种半经典计算方法，可以用来解析薛定谔方程。乔治·伽莫夫使用这方法，首先正确地解释了阿尔法衰变。WKB近似先将量子系统的波函数，重新打造为一个指数函数。然后，半经典展开。再假设波幅或相位的变化很慢。通过一番运算，就会得到波函数的近似解。

WKB近似以三位物理学家格雷戈尔·文策尔、汉斯·克喇末和莱昂·布里渊姓氏字首命名。于1926年，他们成功地将这方法发展和应用于量子力学。不过早在1923年，数学家哈罗德·杰弗里斯就已经发展出二阶线性微分方程的一般的近似法。薛定谔方程也是一个二阶微分方程。可是，薛定谔方程的出现稍微晚了两年。三位物理学家各自独立地在做WKB近似的研究时，似乎并不知道这个更早的研究。所以物理界提到这近似方法时，常常会忽略了杰弗里斯所做的贡献。这方法在荷兰称为KWB近似，在法国称为BWK近似，只有在英国称为JWKB近似。

一般而言，WKB近似专门计算一种特殊微分方程的近似解。这种特殊微分方程的最高阶导数项目的系数是一个微小参数${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$。给予一个微分方程，形式为

假设解答的形式可以展开为一个渐近级数：

将这拟设代入微分方程。然后约去相同指数函数因子。又取${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\to <!--\; \to \; -->0}$的极限。这样，就可以从${\displaystyle S_0(x)}$开始，一个一个的解析这渐近级数的每一个项目${\displaystyle S_n(x)}$。

通常${\displaystyle y(x)}$的渐近级数会发散。当${\displaystyle n}$大于某值后，一般项目${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^n{S}_n(x)}$会开始增加。因此WKB近似法造成的最小误差，约是最后包括项目的数量级。

设想一个二阶齐次线性微分方程

其中，${\displaystyle Q(x)\ne <!--\; \ne \; -->0}$。

猜想解答的形式为

将猜想代入微分方程，可以得到

取${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\to <!--\; \to \; -->0}$的极限，最重要的项目是

我们可以察觉，${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$必须与${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$成比例。设定${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$，则${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$的零次幂项目给出

我们立刻认出这是程函方程。解答为

检查${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$的一次幂项目给出

这是一个一维传输方程。解答为

其中，${\displaystyle k_1}$是任意常数。

我们现在有一对近似解（因为${\displaystyle S_0}$可以是正值或负值）。一般的一阶WKB近似解是这一对近似解的线性组合：

检查${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$的更高幂项目（${\displaystyle n>2}$）可以给出：

解析一个量子系统的薛定谔方程，WKB近似涉及以下步骤：

一维不含时薛定谔方程为

其中，${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$是约化普朗克常数，${\displaystyle m}$是质量，${\displaystyle x}$是坐标，${\displaystyle V(x)}$是位势，${\displaystyle E}$是能量，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$是波函数。

稍加编排，重写为

假设波函数的形式为另外一个函数${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$的指数（函数${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$与作用量有很密切的关系）：

代入方程(1)，

其中，${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\prime }}$表示${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$随着${\displaystyle x}$的导数。

${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\prime }}$可以分为实值部分与虚值部分。设定两个函数${\displaystyle A(x)}$与${\displaystyle B(x)}$：

注意到波函数的波幅是${\displaystyle \exp <!--\; \; -->}$，相位是${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}^{x}B(x^{\prime })d{x}^{\prime }/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$。将${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\prime }}$的代表式代入方程(2)，分别匹配实值部分、虚值部分，可以得到两个方程：

将${\displaystyle A(x)}$与${\displaystyle B(x)}$展开为${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$的幂级数：

将两个幂级数代入方程(3)与(4)。${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$的零次幂项目给出：

假若波幅变化地足够慢于相位（${\displaystyle A_0(x)\ll <!--\; \ll \; -->B_0(x)}$），那么，我们可以设定

只有当${\displaystyle E\ge <!--\; \ge \; -->V(x)}$的时候，这方程才成立。经典运动只会允许这种状况发生。

更精确一点，${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$的一次幂项目给出：

所以，

波函数的波幅是${\displaystyle \exp <!--\; \; -->=\frac{1}{\sqrt{B_0}}}$。

定义动量${\displaystyle p(x)=\sqrt{2m\left(E-<!--\; -\; -->V(x)\right)}}$，则波函数的近似为

其中，${\displaystyle C_{+}}$和${\displaystyle C_{-<!--\; -\; -->}}$是常数，${\displaystyle x_0}$是一个任意参考点的坐标。

换到另一方面，假若相位变化地足够慢于波幅（${\displaystyle B_0(x)\ll <!--\; \ll \; -->A_0(x)}$），那么，我们可以设定

只有当${\displaystyle V(x)\ge <!--\; \ge \; -->E}$的时候，这方程才成立。经典运动不会允许这种状况发生。只有在量子系统里，才会发生这种状况，称为量子隧穿效应。类似地计算，可以求得波函数的近似为

其中，${\displaystyle p(x)=\sqrt{2m\left(V(x)-<!--\; -\; -->E\right)}}$。

显而易见地，我们可以从分母观察出来，在经典转向点${\displaystyle E=V(x)}$，这两个近似方程(5)和(6)会发散，无法表示出物理事实。我们必须正确地找到波函数在经典转向点的近似解答。设定是经典运动允许区域。在这区域内，${\displaystyle E>V(x)}$，波函数呈振动形式。其它区域和是经典运动不允许区域，波函数呈指数递减形式。假设在经典转向点附近，位势足够的光滑，可以近似为线性函数。更详细地说，在点${\displaystyle x_2}$附近，将 ${\displaystyle \frac{2m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\left(V(x)-<!--\; -\; -->E\right)}$展开为一个幂级数：

其中，${\displaystyle U_1,U_2,\cdots <!--\; \cdots \; -->}$是常数值系数。

取至一阶，方程(1)变为

这微分方程称为艾里方程，其解为著名的艾里函数：

匹配艾里函数和在的波函数，在的波函数，经过一番繁杂的计算，可以得到在${\displaystyle x_2}$附近的连接公式（connection formula）：

类似地，也可以得到在${\displaystyle x_1}$附近的连接公式：

在经典运动允许区域内的两个连接公式也必须匹配。设定角变量

那么，

立刻，我们可以认定${\displaystyle |C_1|=|C_2|}$。匹配相位，假若${\displaystyle C_1=C_2}$，那么，

所以，

假若${\displaystyle C_1=-<!--\; -\; -->C_2}$，那么，

所以，

总结，量子系统必须满足量子化守则：

考虑一个量子谐振子系统，一个质量为${\displaystyle m}$的粒子，运动于谐振位势${\displaystyle V(x)=\frac{1}{2}m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{x}^2}$；其中，${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$是角频率。求算其本征能级${\displaystyle E_n}$