凯勒流形

在数学中，一个凯勒流形（Kähler manifold）是具有满足一个可积性条件的酉结构（一个U()-结构）的流形。特别地，它是一个黎曼流形、复流形以及辛流形，这三个结构两两相容。

这个三位一体结构对应于将酉群表示为一个交集：

若没有任何可积性条件，类似的概念是一个殆埃尔米特流形。如果辛结构是可积的（但复结构不要求），则这个概念是殆凯勒流形；如果复结构是可积的（但辛结构不要求），则为埃尔米特流形。

凯勒流形以数学家埃里希·凯勒命名，在代数几何中占有重要的地位：它们是复代数簇的一个微分几何推广。

带有一个埃尔米特度量的流形是殆埃尔米特流形；凯勒流形是带有满足一个可积性条件的埃尔米特度量的流形，它有多种等价的表述。

凯勒流形可以多种方法刻画：它们通常定义了具有一个附加结构的复流形（或具有附加结构的辛流形，或具有附加结构的黎曼流形）。

可以将这三个结构之间的联系总结为 ${\displaystyle h=g+i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ 是埃尔米特形式， 是黎曼度量， 是殆复结构，而 ${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ 上一个凯勒度量是切丛 ${\displaystyle TM}$/2 的意义下）

是闭的：即 dω = 0。如果 带有这样一个度量则称之为凯勒流形。

凯勒流形上的度量局部满足

对某个函数 ，称为凯勒势。卡拉比率先考虑了凯勒流形上的微分几何问题，特别是典则度量（包括凯勒-爱因斯坦，常数量曲率凯勒度量和极值度量）的存在性与唯一性问题。丘成桐于七十年代取得了突破性进展，近年来此问题取得了数学界极其广泛的关注，属于微分几何中的中心问题之一。

一个凯勒流形，伴随的凯勒形式和度量叫做凯勒-爱因斯坦（Kähler-Einstein，有时也叫爱因斯坦-凯勒）的当且仅当其里奇张量与度量张量成比例，${\displaystyle Ricg=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}g}$，对某个常数 λ。这个名称是为了纪念爱因斯坦关于宇宙常数的考虑。更多细节见爱因斯坦流形一文。

凯勒流形的一个重要子类是卡拉比–丘流形。