凯勒流形

✍ dations ◷ 2025-07-11 16:34:45 #微分几何,黎曼几何,代数几何,复流形,辛几何,流形上的结构

在数学中,一个凯勒流形(Kähler manifold)是具有满足一个可积性条件的酉结构(一个U()-结构)的流形。特别地,它是一个黎曼流形、复流形以及辛流形,这三个结构两两相容。

这个三位一体结构对应于将酉群表示为一个交集:

若没有任何可积性条件,类似的概念是一个殆埃尔米特流形。如果辛结构是可积的(但复结构不要求),则这个概念是殆凯勒流形;如果复结构是可积的(但辛结构不要求),则为埃尔米特流形。

凯勒流形以数学家埃里希·凯勒命名,在代数几何中占有重要的地位:它们是复代数簇的一个微分几何推广。

带有一个埃尔米特度量的流形是殆埃尔米特流形;凯勒流形是带有满足一个可积性条件的埃尔米特度量的流形,它有多种等价的表述。

凯勒流形可以多种方法刻画:它们通常定义了具有一个附加结构的复流形(或具有附加结构的辛流形,或具有附加结构的黎曼流形)。

可以将这三个结构之间的联系总结为 h = g + i ω {\displaystyle h=g+i\omega } 是埃尔米特形式, 是黎曼度量, 是殆复结构,而 ω {\displaystyle \omega } 上一个凯勒度量是切丛 T M {\displaystyle TM} /2 的意义下)

是闭的:即 dω = 0。如果 带有这样一个度量则称之为凯勒流形。

凯勒流形上的度量局部满足

对某个函数 ,称为凯勒势。卡拉比率先考虑了凯勒流形上的微分几何问题,特别是典则度量(包括凯勒-爱因斯坦,常数量曲率凯勒度量和极值度量)的存在性与唯一性问题。丘成桐于七十年代取得了突破性进展,近年来此问题取得了数学界极其广泛的关注,属于微分几何中的中心问题之一。

一个凯勒流形,伴随的凯勒形式和度量叫做凯勒-爱因斯坦(Kähler-Einstein,有时也叫爱因斯坦-凯勒)的当且仅当其里奇张量与度量张量成比例, R i c g = λ g {\displaystyle Ric\;g=\lambda g} ,对某个常数 λ。这个名称是为了纪念爱因斯坦关于宇宙常数的考虑。更多细节见爱因斯坦流形一文。

凯勒流形的一个重要子类是卡拉比–丘流形。

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