泛函

泛函（functional）指以函数构成的向量空间为定义域，实数为值域为的“函数”，即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量，往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中，泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。泛函的应用可以追溯到变分法，其中通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上，寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。

设${\displaystyle S}$是由一些函数构成的集合。所谓${\displaystyle S}$上的泛函就是${\displaystyle S}$上的一个实值函数。${\displaystyle S}$称为该泛函的容许函数集。

函数的变换某种程度上是更一般的概念，参见算子。

设在 xOy 平面上有一簇曲线 ${\displaystyle y(x)}$, 其长度为${\displaystyle L={\int <!--\; \int \; -->}_{C}ds={\int <!--\; \int \; -->}_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+{y^{\prime }}^2}dx}$。

显然，${\displaystyle y(x)}$不同, ${\displaystyle L}$也不同，即${\displaystyle L}$的数值依赖于整个函数${\displaystyle y(x)}$ 而改变。 ${\displaystyle L}$ 和函数 ${\displaystyle y(x)}$ 之间的这种依赖关系就称为泛函关系。

观察映射

是一个函数，在这里，${\displaystyle x_0}$是函数f的自变量。

同时，将函数映射至一个点的函数值

是一个泛函，在此${\displaystyle x_0}$是一个参数

只要 ${\displaystyle f}$ 是一个从向量空间至一个布于实数的体的线性转换，上述的线性映射彼此对偶，那么在泛函分析上，这两者都称作线性泛函。