谱相关密度

✍ dations ◷ 2025-07-11 15:12:20 #谱相关密度

谱相关密度 (spectral correlation density , SCD),有时也称为循环谱密度(cyclic spectral density)或频谱相关函数(spectral correlation function),是描述时间序列的所有频移版本对的交叉频谱密度的函数。谱相关密度仅适用于周期平稳过程,或称为循环平稳过程,普通平稳过程不具备谱相关性。 谱相关被广泛用于信号检测和信号分类。 谱相关密度与每个双线性时频分布密切相关,但不被认为是 Cohen 类分布。

时间序列的循环自相关函数 x ( t ) {textstyle x(t)} 计算如下:

对数字信号而言,SCD 可按任意频率和时间分辨率进行估计。由于直接计算SCD具有较高的计算复杂性,为满足信号实时分析的需求,有几类较为有效的信号谱相关估计方法被提出。

目前常用的算法是 FFT 累加法 (FFT Accumulation Method, FAM) 和带状谱相关法 (Strip-Spectral Correlation Algorithm), 近日,又有一种新的快速频谱相关 (fast-spectral-correlation, FSC) 算法被提出 。

在本节中,我们将介绍实际在计算机上估计SCD的方法。如使用MATLAB或Python中的NumPy库,以下步骤的实现将相当简单。

FFT累加法 (FAM) 是一种计算 SCD 的数字方法。它的输入是一组 IQ 样本矩阵,输出是复值图像(或者说是一复值矩阵),即目标 SCD。FAM输入的信号、或说是 IQ 样本矩阵 x {displaystyle x} ,应为复值张量的形式,或者是尺寸为 ( N , ) {displaystyle (N,)} 的多维数组的形式 ,其中数组中的每个元素都是一个 IQ 样本点。

FAM的第一步,是将所输入信号 x {displaystyle x} 分为多个相互重叠且长度为 N {displaystyle N'} 的数据帧,并将其组合成矩阵形式,记为 X {displaystyle X}

X = x x x . . . ] , {displaystyle X={begin{bmatrix}x\x\x\x\.\.\.end{bmatrix}},}

其中, L {displaystyle L} 两数据帧间起始位置相距的长度。为实现重叠,应有 L < N {displaystyle L<N'} X {displaystyle X} 是形状为 ( P , N ) {displaystyle (P,N')} 的张量, P {displaystyle P} 取决于 x {displaystyle x} 能够容纳多少帧 。

随后,将一形状为 ( N , ) {displaystyle (N',)} 的窗函数 a ( N ) {displaystyle a(N')} ,应用于 X {displaystyle X} 的每一行 (如汉明窗等),得到 X {displaystyle X'}

X = X , {displaystyle X'={begin{bmatrix}a(N')\a(N')\a(N')\.\.\.\end{bmatrix}}otimes X,}

其中 {displaystyle otimes } 是逐元素乘法,也就是将矩阵中的每个元素分别与对应位置的窗函数相乘。接下来,要对中的每一行进行 FFT ,得到 W {displaystyle W}

W = ) F F T ( X ) F F T ( X ) . . . ] . {displaystyle W={begin{bmatrix}FFT(X)\FFT(X)\FFT(X)\.\.\.\end{bmatrix}}.}

W {displaystyle W} 就是通常称为瀑布图或频谱图的矩阵。 FAM 的下一步是校正FFT后数据帧的相位延迟。

W = e j ω L W e j ω 2 L W e j ω 3 L W . . . ] , {displaystyle W'={begin{bmatrix}W\e^{jomega L}otimes W\e^{jomega 2L}otimes W\e^{jomega 3L}otimes W\.\.\.\end{bmatrix}},}

其中 ω {displaystyle omega } 对应于 FFT 结果中的每个数字频率,是形状为 ( N , ) {displaystyle (N',)} 张量。

ω = . {displaystyle omega ={bigg }.}

随后,通过求经 FFT 后结果的自相关,得到形状为 ( P , N , N ) {displaystyle (P,N',N')} 张量 S {displaystyle S}

S = W W , {displaystyle S=W'W'^{*},}

其中 {displaystyle ^{*}} 表示复共轭。换言之,若记 W i = W {displaystyle W_{i}=W'} ( 1 , N ) {displaystyle (1,N')} 的矩阵, S {displaystyle S} 可改写为

S = W i H W i , {displaystyle S=W_{i}^{H}W_{i},}

其中 H 表示矩阵的Hermitian (共轭转置)矩阵。接下来的一步,是将 S {displaystyle S} 沿着第一维分别进行 FFT。

S = F F T ( S ) . {displaystyle S'=FFT(S).}

S {displaystyle S'} 是一个包含完整 SCD 信息的三维张量,但我们的目标是构建形状为 ( P N , N ) {displaystyle (PN',N')} 的二维张量,即矩阵或着图像的形式,张量的两个维度分别对应特定频率 f {displaystyle f} 和循环频率 α {displaystyle alpha } S {displaystyle S'} 中所有 α {displaystyle alpha } 的值可以通过张量 A {displaystyle A} 的到,而所有的频率值 f {displaystyle f} 则记录在张量 F {displaystyle F} 中。这里的 F = j + k 2 N .5 . {displaystyle F={frac {j+k}{2N'}}-.5.}

A = j k N + ( i P 2 ) Δ α . {displaystyle A={frac {j-k}{N'}}+{bigg (}i-{frac {P}{2}}{bigg )}Delta alpha .}

上式中, Δ α = 1 / N {displaystyle Delta alpha =1/N} 。至此,SCD 可以退化为一个二位的图像或矩阵 s {displaystyle s} S {displaystyle S'} 中的 ( f , α ) {displaystyle (f,alpha )} 对都可以赋为0,有效值可以通过 A {displaystyle A} F {displaystyle F} 获取 。

完整计算一次 SCD 具有相当大的复杂度,复杂度的主要来源是第二轮 FFT。幸运的是,从 S {displaystyle S'} 估计 s {displaystyle s'} SCD 的计算公式为

s = 1 P i = 0 P 1 S . {displaystyle s'={frac {1}{P}}sum _{i=0}^{P-1}S'.}

为了更小的计算复杂度,我们可以通过下式,直接从 S {displaystyle S} 计算 s {displaystyle s'} ,因为在 FFT 前或后计算FFT中所有数值的均值是等效的。

s = 1 P i = 0 P 1 S , {displaystyle s'={frac {1}{P}}sum _{i=0}^{P-1}S,}

需要注意的是, s {displaystyle s'} 将看起来像真正 SCD 的 s {displaystyle s} 旋转45 度的版本 。

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