守恒量

在经典力学里，对于一个动力系统，随着时间的演进，所有保持不变的物理量都称为守恒量（conserved quantity），又称为运动常数。由于很多物理定律会表达某种守恒行为，对应的守恒量时常会出现于真实系统。例如，假设在某系统内涉及的作用力是保守力，则此系统的能量是守恒量。假设涉及的作用力是有心力，则此系统的角动量是守恒量。根据动量守恒定律，假若一个粒子所感受到的外力，其总矢量和为零，则这粒子的动量保持不变，是一个守恒量。在这状况下，粒子会呈匀速运动或著静止不变。以方程表达，假设粒子感受到的合外力为零：根据牛顿第二定律，合外力与动量 p {displaystyle mathbf {p} } 的关系式为所以，动量是一个常数，是一个守恒量。根据角动量守恒定律，假若一个粒子所感受到的外力矩，其其总矢量和为零，则这粒子的角动量保持不变，是一个守恒量。在这状况下，粒子会呈匀角运动或直线运动。以方程表达，假设粒子感受到的合外力矩 τ {displaystyle {boldsymbol {tau }}} 为零：合外力矩与角动量 ℓ {displaystyle {boldsymbol {ell }}} 的关系式为所以，角动量是一个常数，是一个守恒量。在经典力学里，粒子的能量定义为动能与势能的代数和。根据能量守恒定律，假若一个粒子所感受到的外力都是保守力，则这粒子的能量保持不变，是一个守恒量。以方程表达，能量 E {displaystyle E} 为动能 T {displaystyle T} 与势能 V {displaystyle V} 的代数和粒子的动能与运动速度 v {displaystyle mathbf {v} } 的关系为其中， m {displaystyle m} 是粒子的质量。而对于保守系统，势能与净保守力 F {displaystyle mathbf {F} } 的关系为能量对于时间的导数为所以，能量是一个常数，是一个守恒量。思考一个物理系统，其拉格朗日量是动能 T {displaystyle T} 与势能 V {displaystyle V} 的差值：通常，动能的参数为广义速度 q ˙ 1 , q ˙ 2 , q ˙ 3 , … , q ˙ N {displaystyle {dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},{dot {q}}_{3},dots ,{dot {q}}_{N}} （符号上方的点号表示对于时间 t {displaystyle t} 的全导数），而势能的参数为广义坐标 q 1 , q 2 , q 3 , … , q N ; t {displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},dots ,q_{N};t} ，所以，拉格朗日量的参数为 q 1 , q 2 , q 3 , … , q N ; q ˙ 1 , q ˙ 2 , q ˙ 3 , … , q ˙ N ; t {displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},dots ,q_{N};{dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},{dot {q}}_{3},dots ,{dot {q}}_{N};t} 。这物理系统的运动轨道，以拉格朗日方程表示为其中， t {displaystyle t} 是时间。拉格朗日量对于时间的全导数为将拉格朗日方程代入，可以得到定义“能量函数” h ( q 1 , q 2 , q 3 , … ; q ˙ 1 , q ˙ 2 , q ˙ 3 , … ; t ) {displaystyle {mathit {h}}(q_{1},q_{2},q_{3},dots ;{dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},{dot {q}}_{3},dots ;t)} 为则能量函数与拉格朗日量的关系为假若拉格朗日量显性地与时间无关， ∂ L ∂ t = 0 {displaystyle {frac {partial {mathcal {L}}}{partial t}}=0} ， L = L ( q 1 , q 2 , q 3 , … , q N ; q ˙ 1 , q ˙ 2 , q ˙ 3 , … , q ˙ N ) {displaystyle {mathcal {L}}={mathcal {L}}(q_{1},q_{2},q_{3},dots ,q_{N};{dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},{dot {q}}_{3},dots ,{dot {q}}_{N})} ，则能量函数是一个常数，是一个守恒量。设定 h = E {displaystyle {mathit {h}}=E} ，这常数 E {displaystyle E} 可以称为这物理系统的能量。因此，这物理系统的能量守恒。